Conjuntos numéricos

Os conjuntos numéricos reúnem diversos conjuntos menores formados por números. São eles:

Clique nos botões para ver as informações.Objeto com interação.

Naturais (N)

O conjunto dos números naturais é representado por N. Ele reúne os números que usamos para contar (incluindo o zero) e é infinito.

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5..., n, ...}

O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z. Reúne todos os elementos dos números naturais (N) e seus opostos negativos. Assim, conclui-se que N é um subconjunto de Z, pois podemos dizer o conjunto dos números naturais N está contido no conjunto dos números inteiros Z (N ⊂ Z):

Subconjuntos dos Números Inteiros:

Z = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...}

Racionais (Q)

O conjunto dos números racionais é representado por Q. Ele engloba todos os números que podem ser escritos na forma p/q, sendo p e q números inteiros e q≠0.

Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, ..., ±2, ±2/3, ±2/5, ..., ±3, ±3/2, ±3/4, ...}

Note que todo número inteiro é também número racional. Assim, Z é um subconjunto de Q.

Irracionais (I)

O conjunto dos números irracionais é representado por I. Esse conjunto contém os números decimais não exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592... ou 1,203040...

Importante ressaltar que as dízimas periódicas são números racionais e não irracionais. Elas são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,3333333...

Reais (R)

O conjunto dos números reais é representado por R. Esse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I), naturais (N) e inteiros (Z).

Podemos representar o conjunto dos números reais pelo seguinte diagrama:

Fonte: Diagrama do conjunto dos números reais. Fonte: Autoria própria.

A D: Forma oval azul, com a letra R, com três formas ovais menores, uma dentro da outra. Da maior para a menor, são elas: forma oval amarela com a letra Q, forma oval vermelha com a letra Z, forma oval verde com a letra N. Há uma quarta forma oval, menor que as outras, cinza, que está isolada no canto esquerdo da forma azul.

Reais

Racionais

Naturais

Irracionais

Inteiros

O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros.
Z (N ⊂ Z).

O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais.
(Z ⊂ Q).

O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).
(Z ⊂ R).

Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R).

Atividade

1. Faça a leitura das frases sobre conjuntos numéricos (IESES – IGP – SC).

I. O número natural N pode ser chamado antecessor de N+1.

II. O conjunto dos números naturais é um subconjunto dos números inteiros.

III. A soma de dois números inteiros ímpares é sempre um número inteiro par.

IV. Entre dois números racionais, A e B, com A diferente de B, existe sempre outro número racional.

Marque a única alternativa correta:

a) Apenas as assertivas I, III e IV estão corretas.

b) Apenas as assertivas III e IV estão corretas.

c) As assertivas I, II, III e IV estão corretas.

d) Apenas as assertivas I e II estão corretas.

Expressões numéricas

Para resolver expressões numéricas, realizamos, primeiramente, as operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas estiverem indicadas, e depois adições e subtrações.

Nas expressões em que aparecem sinais de reunião, efetuam-se as operações eliminando-as dos sinais interiores para os exteriores, ou seja:

( )

Parênteses

Quando o sinal negativo estiver à frente do sinal da reunião eliminado, todos os sinais dos termos internos são trocados.

No produto e divisão entre números:

(-) x (-) = +
(-) x (+) = -
(+) x (-) = -
(+) x (+) = +

a) 2 + [2 – (3 + 2) – 1] = 2 + [2 – 5 – 1] = 2 + [2 – 6] = 2 - 4 = -2

b) 2 + {3 – [1 + (2 – 5 + 4)] + 8} = 11

c) { 2 – [3 * 4 ÷ 2 – 2 *( 3 – 1) ] } + 1 = {2 – [12 ÷ 2 – 2 * 2] } + 1 = {2 – [6 – 4] } + 1 = 1

O sinal * representa multiplicação.

Atividade

2. Leia essa situação, arme uma expressão numérica e determine o valor da expressão.

Milena foi a uma loja de bijuteria com R$ 100 reais comprar alguns presentes. Ela comprou um cordão para dar a sua tia, que custou R$ 22,30 reais, comprou cinco pares brincos para dar as suas amigas, sendo que cada par custou R$ 13,20.

Gabarito comentado

100 – 22,30 – 5*13,20 = 11,70.

3. Ana Laura tem cinco tios. Ela ganhou quatro presentes de um deles. Outro tio deu dois presentes e dois tios compraram juntos um presente para Ana Laura. Represente a expressão que mostra todos os presentes que ela ganhou dos tios e indique quantos presentes foram no total.

Gabarito comentado

Presentes que Ana Laura ganhou:

Quatro presentes de um tio;

100 – 22,30 – 5*13,20 = 11,70.

Dois presentes de outro tio;

Um presente que dois tios deram juntos.

A quantidade total de presentes é dada pela seguinte expressão:

4 + 2 + 1 = 7.

Frações ordinárias

Rotineiramente somos obrigados a lidar com frações. Quando uma receita pede 1/2 tablete de manteiga ou quando precisamos dividir uma pizza entre seis pessoas, trabalhamos com partes de um todo, ou seja, com frações.

A palavra fração vem do latim fractus, que significa partido ou quebrado.

Fonte: Por artnLera / Shutterstock

Descanso visual: Ilustração de pizza de sabores variados cortada em seis fatias iguais.

Número racional fracionário (fração)

É todo o número escrito na forma $\frac{a}{b}$ , onde a e b são números inteiros e b é diferente de zero.

Termos da fração:

$\frac{a}{b} \to \frac{n u m e r a d o r}{d e n o m i n a d o r}$

Conceito de fração

Toda fração indica uma divisão - ainda não efetuada – de um número inteiro (o numerador) por outro inteiro (o denominador), sendo este diferente de zero.

O numerador indica quantas partes do inteiro estamos utilizando.

O denominador indica em quantas partes iguais esse inteiro foi dividido.

Uma fração pode ser representada das seguintes formas:

$3 \div 5 \to 3 / 5 \to \frac{3}{5}$

Veja mais um exemplo a seguir:

Assista ao vídeo na página Frações em uma reta numérica.

Atividade

4. Cinco amigos foram para uma pizzaria, pediram uma pizza tamanho família e dividiram em 10 partes. Uma das amigas estava fazendo uma dieta e só quis comer $\frac{1}{10}$ as outras duas moças comeram $\frac{2}{10}$ cada uma e um dos rapazes comeu $\frac{3}{10}$ . Responda às questões abaixo.

a) Qual é a fração que representa a pizza inteira?
b) Qual parte da fração que ficou para o outro amigo?

Gabarito comentado

Pizza inteira = 10/10.

Moça de dieta comeu - 1/10.

Moça 2 comeu - 2/10.

Moça 3 comeu - 2/10.

Rapaz 1 comeu - 3/10.

Totalizando: soma = 8/10.

Para o outro rapaz sobrou 2/10, pois:

$\frac{10}{10} - \frac{8}{10} - \frac{2}{10}$

5. Identifique qual fração representa um número natural.

a) 5/4

b) 18/6

c) 20/3

d) 28/5

6. Em uma sala de aula 2/3 dos alunos passaram por média.

a) Qual é a fração que representa a parte dos alunos que não passaram por média?
b) Qual é a fração que representa toda a sala?

Gabarito comentado

a) A fração que representa a parte dos alunos que não passaram por média = todo – 2/3. Logo:

A fração que representa a parte dos alunos que não passaram por média $= \frac{3}{3} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

b) 3/3 representa o total de alunos.

Operações com frações

Agora, veremos algumas operações com frações. Vamos lá!

Adição e subtração entre frações

A soma ou a subtração de duas ou mais frações com o mesmo denominador é igual a uma nova fração, que tem como numerador a soma dos numeradores das frações dadas e o denominador é o mesmo das frações envolvidas na operação.

Veja os exemplos a seguir:

$\frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$

$\frac{21}{20} - \frac{15}{20} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal

Para somar ou subtrair frações heterogêneas (denominadores diferentes), deve-se, antes, transformar as frações dadas em frações homogêneas (denominadores iguais).

Veja os exemplos a seguir:

$\frac{2}{3} + \frac{3}{4} = \frac{(12 \div numerador 3) \times numerador 2 + (12 \div numerador 4) \times numerador 3}{3 \times 4 = 12} = \frac{4 \times 2 + 3 \times 3}{12} = \frac{8 + 9}{12} = \frac{17}{12}$

$\frac{5}{7} - \frac{4}{9} = \frac{(63 \div numerador 7) \times numerador 5 - (63 \div numerador 9) \times numerador 4}{7 \times 9 = 63} = \frac{9 \times 5 - 7 \times 4}{63} = \frac{45 - 28}{63} = \frac{17}{63}$

Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal

Saiba mais

Assista ao vídeo na página Problema de soma de frações: tinta.

Multiplicação

Nas operações de multiplicação de fração, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si, o produto obtido deve ser simplificado para apresentação do resultado.

$\frac{2}{3} \times \frac{4}{10} = \frac{2 \times 4}{3 \times 10} = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$

Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal

Divisão

Nas operações de divisão de fração, multiplicamos a primeira fração pela segunda com os termos invertidos. O quociente obtido deve ser simplificado para apresentação do resultado.

$\frac{2}{3} \div \frac{4}{10} = \frac{2}{3} \times (\begin{matrix} inverter \frac{4}{10} \end{matrix}) \frac{10}{4} = \frac{2}{3} \times \frac{10}{4} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal

Atividade

7. Efetue os produtos abaixo (simplifique se for possível).

a) $\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}$

b) $\frac{4}{7} \times \frac{3}{2}$

c) $\frac{10}{12} \times \frac{48}{50} \times \frac{25}{16}$

d) $\frac{2}{7} \times \frac{21}{14} \times \frac{8}{6}$

Gabarito

a) $\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

b) $\frac{4}{7} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{14} = \frac{6}{7}$

c) $\frac{10}{12} \times \frac{48}{50} \times \frac{25}{16} = \frac{12000}{9600} = \frac{5}{4}$

d) $\frac{2}{7} \times \frac{21}{14} \times \frac{8}{6} = \frac{336}{588} = \frac{4}{7}$

8. Ache o quociente das frações abaixo.

a) $\frac{2}{7} \div \frac{8}{14}$

b) $\frac{6}{9} \div \frac{4}{15}$

c) $\frac{2}{3} \div \frac{10}{12} \div \frac{1}{15}$

d) $\frac{7}{5} \div \frac{3}{10}$

Gabarito

a) $\frac{2}{7} \div \frac{8}{14} = \frac{2}{7} \times \frac{14}{8} = \frac{28}{56} = \frac{1}{2}$

b) $\frac{6}{9} \div \frac{4}{15} = \frac{6}{9} \times \frac{15}{4} = \frac{90}{36} = \frac{5}{2}$

c) Essa equação deve ser feita por partes.

Primeiro a parcela:

$\frac{2}{3} \div \frac{10}{12} = \frac{2}{3} \times \frac{12}{10} = \frac{24}{30} = \frac{4}{5}$

Em seguida, resolveremos:

$\frac{4}{5} \div \frac{1}{15} = \frac{4}{5} \times \frac{15}{1} = \frac{60}{5} = \frac{12}{1} = 12$

d) $\frac{7}{5} \div \frac{3}{10} = \frac{6}{7} \times \frac{10}{3} = \frac{70}{15} = \frac{14}{3}$

Fonte: Por rawf8 / Shutterstock).

Descanso visual: Quatro cubos sobre uma superfície de madeira. Na face de cima de cada um dos cubos, há um símbolo aritmético. Da esquerda para a direita, símbolo de adição, subtração, multiplicação e divisão.

Proporcionalidade

Veja a seguir conceitos relacionados à proporcionalidade.

Razão

Considerando dois números genéricos a e b, a razão entre eles é representada por $\frac{a}{b}$ , a/b ou a:b, sendo b≠0.

Proporção

Proporção é a igualdade de duas razões.

Considerando a proporção: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , seus elementos se denominam:

Propriedade fundamental

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

Considerando as proporções:

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

Então, a *d = b *c

$\frac{4}{3} = \frac{8}{6}$

Então, 4*6 = 3*8

$\frac{x}{2} = \frac{3}{5}$

Então, 5*x = 4*20
x= 80/5 ou x = 16

Saiba mais

Assista ao vídeo presente na página Exemplo de escrita de proporções.

Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais

Duas grandezas x e y são denominadas:

Diretamente proporcionais

Quando a razão entre x e y é constante.

$\frac{x}{y} = k$ , então x = k*y

Inversamente proporcionais

Quando o produto delas é constante.

x*y = k ou $x = \frac{k}{y}$

Sendo k denominada constante de proporcionalidade.

Saiba mais

Assista ao vídeo Introdução às relações proporcionais.

Depois, pratique com a lista de exercícios. e confira o Gabarito.

Atividade

9. Qual das proposições abaixo é verdadeira:

a) Todo número inteiro é racional e todo número real é um número inteiro.

b) Todo número real é negativo.

c) O número 2/3 é um número irracional.

d) O número -1 pode ser classificado somente como número racional.

e) O número +5 pode ser classificado como número real.

Conjuntos numéricos

Naturais (N)

Inteiros (Z)

Racionais (Q)

Irracionais (I)

Reais (R)

Atenção

Atividade

Expressões numéricas

( )

[ ]

{ }

Exemplo

Atividade

Frações ordinárias

Número racional fracionário (fração)

Conceito de fração

Dica

Um inteiro

Seis sextos

Cinco sextos

Saiba mais

Atividade

Operações com frações

Adição e subtração entre frações

Saiba mais

Multiplicação

Divisão

Atividade

Proporcionalidade

Razão

Proporção

Propriedade fundamental

a b = c d

4 3 = 8 6

x 2 = 3 5

Saiba mais

Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais

Diretamente proporcionais

Inversamente proporcionais

Saiba mais

Atividade

Notas

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

$\frac{4}{3} = \frac{8}{6}$

$\frac{x}{2} = \frac{3}{5}$