Introdução

Uma viga é um elemento estrutural prismático de uma grande estrutura que suporta carregamentos externos.

Em função do tipo de carregamento sobre a viga, vários são os efeitos internos possíveis:

• O esforço cortante ou cisalhante.
• A flexão.
• A torção.
• O esforço normal.

As vigas podem estar vinculadas de diversas maneiras. Algumas dessas possibilidades estão mostradas na figura.

Neste tema, serão estudadas particularmente as vigas biapoiadas isostáticas.

São vigas que se encontram vinculadas a dois apoios sendo um do primeiro gênero e o outro de segundo gênero. Elas podem estar ou não em balanço, conforme ilustra a figura a seguir.

Nesta fase introdutória do tema, será feita uma abordagem bastante simples a respeito da estaticidade das vigas biapoiadas. Elas podem ser:

Na figura, a seguir, são apresentadas algumas dessas vigas.

Geometria e os carregamentos de uma viga biapoiada

Há uma gama de possibilidades para as seções retas das vigas. Podem ser constantes ou variáveis ao longo do comprimento L da barra (viga).

Seções comuns na Engenharia são as retangulares (quadradas), em forma de I, em forma de T, em forma de C, circulares etc.

Ademais, o tipo de material também apresenta um grande espectro. Podem ser de metais, de madeira, de concreto etc.

A figura seguinte apresenta algumas possibilidades citadas, em que a_a’ e b_b’ são os cortes.

Em relação ao carregamento que as vigas biapoiadas podem estar submetidas, existem dois grandes grupos: concentrado e distribuído. Cada um deles pode ser associado à força (carga) ou carga momento.

Devemos ter em mente que as várias partes de uma grande estrutura se vinculam de alguma forma.

Anteriormente, já foi feita uma abordagem em que se mostrou a diferença entre os conceitos de força concentrada e de força distribuída.

Substituição de uma carga distribuída por uma concentrada

Em muitas situações, para o cálculo de reações em vigas biapoiadas, será importante fazer a substituição da carga distribuída pela concentrada equivalente.

Essa troca significa conhecer que vetor único (intensidade, direção, sentido e ponto de aplicação) representando uma carga concentrada é capaz de substituir a carga distribuída provocando os mesmos efeitos físicos no sistema.

A figura, a seguir, apresenta uma situação genérica de substituição de uma carga distribuída q(x) pela sua carga equivalente concentrada F.

Para se determinar a intensidade da força concentrada F, é necessária a determinação da área sob a curva da carga distribuída, ou seja, $F={\int }_a^{b}q\left(x\right)·dx$ e do ponto de aplicação (centroide da área sob a curva da carga distribuída).

Dois casos de carregamentos distribuídos são apresentados na figura a seguir (uniformemente e linearmente distribuídos).

A determinação da intensidade e localização (centroide) são bem simples.

Nos dois casos, a intensidade da carga concentrada equivalente será numericamente igual à área do retângulo (base x altura) ou à área do triângulo retângulo (base x altura/2).

Teoria na prática

Vários ramos da Engenharia apresentam muitos exemplos em que são aplicadas as vigas, um dos principais elementos estruturais para muitos autores.

Na Engenharia Civil, por exemplo, é fácil perceber a presença desses elementos na fase intermediária da construção de um prédio, pois antes do fechamento das paredes, ficam evidentes as vigas, dentre outros elementos estruturais.

Na Engenharia Mecânica também existem exemplos em grandes estruturas metálicas. O modelo prático, que será apresentado, possui algumas simplificações em sua modelagem, mas é didático para a percepção das vigas biapoiadas sob determinado carregamento.

Para simplificar a modelagem, será suposto um eixo contínuo de seção circular constante e comprimento 2,0 m. Além disso, será feito um estudo que envolve o modelo físico, sua representação esquemática por meio do diagrama do corpo livre (DCL) e cálculos das reações nos apoios.

Inicialmente, será determinado o peso do carro e a fração desse suportada pelo eixo traseiro.

Considerando a aceleração da gravidade local igual a 10m/s², o peso (P = m.g) será igual a 1800.10, ou seja, 18.000 N (18 kN). Apenas 40% desse valor é suportado pelas rodas traseiras. Dessa forma, 40% x 18 kN é igual a 7,2 kN.

A seguir, há um esquema do eixo e as rodas traseiras vistos sob a óptica de um observador localizado na parte posterior do carro.

O eixo é uma viga biapoiada em que as rodas são os vínculos.

Considerando que o valor de 7,2 kN seja distribuído uniformemente ao longo do comprimento do eixo, é possível imaginar um modelo de uma carga distribuída sobre ele.

Dessa forma, a carga distribuída q será dada por 7,2 kN divididos por 2 m, ou seja:

q = 7,2 / 2 = 3,6 kN/m.

Na figura, a seguir, veja o DCL para a situação descrita.

A partir das equações do equilíbrio estático $\sum F_x=0;\sum F_y=0$ (equilíbrio translacional) e $\sum M_z=0$ (equilíbrio rotacional) é possível determinar os valores de R_V1 e R_V2.

No caso apresentado, pela simetria da configuração geométrica e do carregamento, é imediata a determinação das reações, uma vez que elas serão iguais.

A carga distribuída equivale a uma força concentrada de intensidade igual à área do retângulo, b . h = 3,6 . 2 = 7,2 kN que atua no ponto médio do eixo.

Na equação do equilíbrio em y, tem-se:

Como as reações (R_V1 e R_V2) são iguais, R_V1 + R_V1 = 7,2 → 2.R_V1 = 7,2 → R_V1 = 7,2/2 = 3,6 kN.

Introdução

Considere uma viga sob um carregamento externo genérico.

Ao se estudar internamente as seções desse elemento estrutural, é possível perceber os efeitos decorrentes das ações externas. Cada seção interna pode estar submetida aos seguintes efeitos: flexão, torção e os esforços cortante e normal.

A abordagem desse tema particulariza a viga e o carregamento aplicado. A suposição é que a viga se encontra biapoiada com um carregamento (força) no seu plano e momentos fletores perpendiculares a esse plano. Serão avaliados apenas os efeitos interno de cisalhamento (esforço cortante) e de flexão (momento fletor).

A figura a seguir mostra essa situação de maneira esquemática.

Efeitos internos de flexão e de cisalhamento

Ao se estudar os efeitos internos numa seção de uma viga sob um carregamento, é fundamental que o aluno perceba que o corte feito para “expor” a seção interna de estudo é tão somente uma abstração. Não ocorre, de fato, um rompimento físico da viga.

Ao se efetuar o corte (a_a’) na viga, duas “partes” dessa surgirão (à esquerda e à direita do plano de corte).

Será possível, portanto, o estudo da seção interna a partir de uma dessas duas partes em que a viga se dividiu (abstratamente).

Observe o corte da viga na figura:

Com o corte da viga e a exposição da seção interna, os efeitos internos são indicados por M (momento fletor) e V (esforço cortante). A figura, a seguir, apresenta estes dois vetores (M e V) na seção interna em ambas as partes da viga.

A figura anterior mostra o esforço cortante V (tangente à seção interna) e o momento fletor M convencionados como positivos. Perceba a Terceira Lei de Newton (ação-reação) sendo aplicada.

O momento fletor na parte esquerda da viga tem sua reação na parte da direita, assim como o esforço cortante.

Determinação dos efeitos internos de flexão e cisalhamento em uma viga

Para a determinação dos efeitos internos (esforço cortante V e momento fletor M), em uma dada seção da viga, serão utilizadas as equações do equilíbrio estático do corpo rígido bidimensional, ou seja:

• $\sum F_x=0; \sum F_y=0$ (equilíbrio translacional)
• $\sum M_z=0$ (equilíbrio rotacional)

Em linhas gerais, inicialmente são determinadas as reações nos apoios da viga, considerando-a como um corpo único. Conhecendo-se os valores das reações nos vínculos da viga, faz-se o corte na região da viga que se deseja estudar e separa-se uma das duas partes.

Uma vez que a viga se encontra em equilíbrio, qualquer uma das partes escolhidas também estará em equilíbrio. Assim, novamente as equações do equilíbrio são utilizadas e os valores de V e M são determinados.

O exemplo a seguir mostra os passos descritos.

2º passo:

Determinação dos esforços internos na seção de estudo

Observe na figura do exemplo o plano de seccionamento distante 1 m do apoio A.

Fazendo o corte na viga e escolhendo-se a parte esquerda, tem-se:

Perceba que na parte esquerda da viga, o carregamento distribuído atua apenas sobre o comprimento de um metro (corte).

Na figura à direita, há o DCL com a representação da força concentrada equivalente (área do retângulo b . h = 18 . 1) de 18 kN atuando a 0,5 m de A.

Aplicando-se as equações de equilíbrio do corpo rígido:

Teoria na prática

Um projeto tem várias etapas que culminam na concepção do produto. Neste momento do tema, iniciamos o estudo para o dimensionamento de um elemento estrutural muito presente em vários ramos da Engenharia: a viga.

Em passos futuros, outros conceitos serão apresentados, mas que necessariamente carecerão dos conceitos aprendidos na disciplina.

Suponha que um aluno esteja estagiando e auxiliando em um projeto cujo engenheiro responsável pediu que o estagiário determinasse os esforços internos (cortante e momento fletor) em uma viga a 1 m da sua extremidade esquerda.

O aluno lembrou de suas aulas de Mecânica dos Sólidos e, percebendo que precisava de mais informações, falou com o engenheiro, que disse que a viga em questão tem comprimento 3 m e um carregamento linear crescente, a partir da extremidade esquerda (0) até a extremidade direita (12 kN/m). Ainda pensando sobre a questão, o aluno perguntou ao engenheiro como essa viga estava vinculada.

Com todas essas informações, o aluno criou o modelo mostrado na figura a seguir.

Inicialmente, o aluno determinou as reações nos apoios A e B. O primeiro passo foi fazer a substituição do carregamento distribuído linearmente pela carga concentrada equivalente.

A intensidade da carga concentrada equivale à área do triângulo, ou seja,

F = (b . h)/2 = (12 . 3)/2 = 18 kN.

O ponto de aplicação fica a 1/3 do ângulo reto, no caso descrito, o apoio B. Assim, F terá ponto de aplicação a 1 m de B.

Na figura, seguinte, está o DCL da viga determinado pelo aluno.

O aluno aplicou as equações de equilíbrio do corpo rígido:

Determinadas as reações, o aluno fez o corte (1_1’) mostrado na figura de seu modelo inicial e desenhou o DCL da parte esquerda da viga. O modelo para esse corte é mostrado na figura a seguir.

O valor da carga concentrada equivalente foi determinado pelo aluno calculando a área do triângulo (4.1)/2 = 2 kN. O ponto de aplicação encontra-se a 1/3 m da seção de corte. O valor de q’ é proporcional à distância ao ponto A. Para 3 m, o valor é de 12 kN/m, para 1 m (3 vezes menor), q’ será dado por 12/3 = 4 kN/m.

Novamente, o aluno aplicou as equações de equilíbrio do corpo rígido:

Introdução

A apresentação deste tema baseia-se apenas no estudo e compreensão dos esforços internos cortante e de flexão em uma viga.

Considerando o eixo da viga como o eixo x, por exemplo, e as extremidades com valores zero e L (comprimento da viga), será possível determinar expressões para o esforço cortante e o momento fletor como função de x, ou seja, V(x) e M(x).

A partir das expressões V(x) e M(x), vários aspectos podem ser abordados. É possível plotar os gráficos do diagrama de esforço cortante (DEC) e do diagrama do momento fletor (DMF). Ademais, é possível a determinação do valor do esforço cortante/ momento fletor em quaisquer pontos da viga diretamente a partir das expressões V(x) e M(x).

Complementando o estudo do DEC e do DMF, serão apresentadas equações diferenciais que relacionam o carregamento q(x), V(x) e M(x) e algumas propriedades geométricas dos diagramas que auxiliam na elaboração deles.

Elaboração dos diagramas de esforço cortante (DEC) e momento fletor (DMF) de vigas biapoiada

Antes de efetivamente determinarmos o DEC e o DMF de uma viga, será adotada a convenção de que os valores positivos de V e M estarão acima do eixo longitudinal da viga e os valores negativos, abaixo.

Na figura, a seguir, há um exemplo de uma viga biapoiada com carregamento uniformemente distribuído e o DEC e o DMF correspondentes com a convenção de sinais adotada.

Em linhas gerais, a determinação das expressões V(x) e M(x) é feita iniciando-se pelo cálculo das reações de apoios da viga.

Após, é feito um corte genérico a uma distância x da origem (extremidade esquerda da viga) e estuda-se a parte esquerda da viga em termos de equilíbrio, ou seja, são aplicadas as equações:

Dessa forma, serão determinadas expressões para o esforço cortante e para o momento fletor em função da variável x. Generalizando, por vezes são necessários cortes distintos em função do carregamento.

A fim de que essas ideias qualitativas da metodologia sejam entendidas de forma quantitativa, segue um exemplo para a construção do DEC e do DMF de uma viga biapoiada.

Exemplo:

Suponha uma viga biapoiada de comprimento L e com uma carga concentrada F distante a unidades de comprimento do apoio A e b unidades de comprimento do apoio B. Dessa forma, a + b = L.

Observe a figura a seguir.

Determinação das reações nos apoios. Observe o diagrama do corpo livre da barra.

Observe a figura, após o segundo corte (2_2’) da viga, após o ponto de aplicação da força concentrada F.

A partir de agora, com as expressões encontradas para V e M, serão traçados os gráficos que representam o esforço cortante e o momento fletor nas seções da viga ao longo de seu comprimento.

Diagrama do esforço cortante (DEC):

• Parte à esquerda do ponto de aplicação da força F tem V(x) dada pela função constante $V=\frac{F.b}{L}$. Assim, uma reta paralela ao eixo x, acima do zero.
• Parte à direita do ponto de aplicação da força F tem V(x) dada pela função constante $V=-\frac{F.a}{L}$. Assim, uma reta paralela ao eixo x, abaixo do zero.

Dessa forma, a seguir, há o esboço do DEC.

Diagrama do momento fletor (DMF):

• Parte à esquerda do ponto de aplicação da força F tem M(x) dada pela função do 1⁰ grau $M=\frac{F.b}{L}·x$. Então, uma reta crescente de x = 0 (M =0) até $x = a (M=\frac{F·a·b}{L})$.
• Parte à direita do ponto de aplicação da força F tem M(x) dada pela função do 1⁰ grau $M=\frac{F·a}{L}·(L-x)$. Assim, uma reta decrescente de $x = a (M=\frac{F·a·b}{L})$ até x = L (M = 0).

Dessa forma, a seguir, há o esboço do DMF.

Por isso, é importante estudar uma metodologia que auxilie nessa situação. É possível demonstrar que as seguintes relações são válidas entre q(x), V(x) e M(x).

A partir da equação 1, é possível concluir que, em cada ponto ao longo do comprimento da viga, o coeficiente angular da tangente ao DEC equivale a – q(x) aplicada no ponto.

Cuidados devem ser tomados para aplicação da equação 1 para cargas concentradas, pois levam a descontinuidades no DEC.

A partir da equação 2, integrando-a, tem-se ${\int }_a^{b}M\left(x\right)={\int }_a^{b}V\left(x\right)·dx$

Assim, a variação do momento fletor em um dado trecho corresponde à área do DEC nesse trecho da viga.

Para funções polinomiais, é verdade que se q(x) é de grau “n”, V(x) será de grau “n + 1” e M(x) de grau “’n + 2”.

A partir das expressões anteriores, será utilizado um exemplo para mostrar a aplicação na montagem dos DEC e DMF.

Exemplo:

Barra biapoiada de comprimento L com carregamento uniformemente distribuído.

A carga concentrada equivalente é igual à área do retângulo, ou seja, q.L. Pela simetria, as reações em A e B serão iguais a qL/2.

O carregamento é uma função constante (polinômio de grau 0), logo V(x) será um polinômio de grau 1 e M(x) um polinômio de grau 2.

O carregamento é dado por q(x) = q (constante).

Note que em x = 0, ponto A, o esforço cortante é igual a V(0) = V_A = q.L/2.

Assim, substituindo na última equação, tem-se:

Observe que é uma função do primeiro grau (reta) com coeficiente angular negativo (decrescente).

Assim, substituindo na última equação, tem-se:

Logo, o DEC terá o seguinte aspecto:

A partir da função encontrada $V\left(x\right)=\frac{q.L}{2}-qx$ é possível determinar em que ponto o esforço cortante é nulo, pois $0=\frac{q.L}{2}-qx\to \frac{q.L}{2}=qx \to x= \frac{L}{2} .$.

Logo, em x = L/2, o esforço cortante é nulo.

Para a confecção do DMF, será utilizada a equação 2.

Integrando, tem-se: $M\left(x\right)=C+\frac{q·L·x}{2}-\frac{q·x^2}{2}$

Como os apoios da viga são de primeiro e segundo gêneros, não restringem a rotação, logo M(0) = M(L) = 0.

Substituindo na expressão anterior, tem-se $M\left(0\right)=C+\frac{q·L·0}{2}-\frac{q·0^2}{2}\to 0=C.$

Dessa forma, a expressão para o momento fletor M(x) será $\mathit{M}\mathbf{\left(}\mathit{x}\mathbf{\right)}\mathbf{=}\frac{\mathbf{q}\mathbf{·}\mathbf{L}\mathbf{·}\mathbf{x}}{\mathbf{2}}\mathbf{-}\frac{\mathbf{q}\mathbf{·}{\mathbf{x}}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{2}}$

O aspecto do DMF é mostrado na figura a seguir.

Note que o valor máximo do momento fletor é $\frac{q.L^2}{8}$ e ocorre em x = L/2.

É fácil mostrar esses valores, pois basta derivar a função de M(x) em relação a x e igualar a zero, ou seja,

$\frac{dM\left(x\right)}{dx}=\frac{q.L}{2}-qx=0 \to x=\frac{L}{2}$

Outra maneira de desenhar o DMF é a partir da ideia que foi citada, anteriormente, de que a área sob o DEC corresponde ao acréscimo/decréscimo do momento fletor.

Teoria na prática

No módulo anterior, o Teoria na prática apresentou um aluno estagiário de uma empresa auxiliando um engenheiro na determinação do cálculo dos esforços internos cortante e fletor, numa dada seção da viga.

O estagiário conseguiu resolver o que lhe fora pedido e recebeu uma nova incumbência: determinar os mesmos esforços internos em outra seção da mesma viga.

O aluno concluiu que uma adaptação na solução encontrada no primeiro caso levaria à solução desejada. Porém, ele optou por determinar o esforço cortante e o momento fletor em uma região genérica qualquer da viga.

Dessa forma, ao determinar as expressões para V(x) e M(x), poderia ter os valores em quaisquer seções e ainda ratificar o resultado encontrado inicialmente.

Como a viga a ser estudada era a mesma, o modelo criado inicialmente não mudou, como apresenta a figura.

Os valores encontrados para as reações em A e B também poderiam ser reutilizados.

Na figura seguinte está o DCL da viga com os valores previamente determinados pelo aluno.

Determinadas as reações, o aluno fez o corte genérico (1_1’) mostrado na figura de seu modelo inicial, localizado a x m do apoio A, e desenhou o DCL da parte esquerda da viga. O modelo para esse corte é apresentado a seguir.

O valor da carga concentrada equivalente foi determinado pelo aluno calculando a área do triângulo (4x .x /2 = 2.x²). O ponto de aplicação encontra-se a x/3 m da seção de corte.

O valor de q’ é proporcional à distância ao ponto A. Assim, q’ = 4.x.

Introdução

De forma similar ao estudo feito para as treliças simples isostáticas, neste módulo faremos uma abordagem inicial da modelagem computacional das vigas biapoiadas isostáticas.

Existem muitas ferramentas computacionais acadêmicas/profissionais que auxiliam na determinação de, por exemplo, esforços internos de uma viga.

Contudo, muitos aspectos são considerados nos modelos e que ainda não foram abordados nessa fase do curso de Engenharia. Portanto, a abordagem apresentará um viés qualitativo, mas com possibilidade de alcançar resultados para modelos ainda bem simplificados.

Na Engenharia, as situações reais devem ser entendidas fisicamente para que sejam modeladas matematicamente e, por fim, determinar a solução (de maneira analítica ou computacional). Essas fases são, de maneira genérica, executadas pelos seguintes passos:

Análise física de uma viga e sua modelagem matemática

Em nosso estudo, a modelagem física de uma viga já será precedida de algumas simplificações:

• A viga é isostática, ou seja, o número de equações do equilíbrio do corpo rígido é igual ao número de incógnitas (reações nos apoios).
• A viga encontra-se biapoiada.
• A viga é rígida, ou seja, indeformável.
• O carregamento ocorre no plano da viga.
• A princípio, os pesos das vigas são desprezíveis quando comparados às forças externas.

Em linhas gerais, para a determinação das reações nos apoios, serão feitas substituições de cargas distribuídas q(x) por cargas concentradas equivalentes F (intensidade e ponto de aplicação) e o diagrama do corpo livre da viga.

Para determinar a intensidade de F é necessária a determinação da área sob a curva de carregamento, ou seja, encontrar a integral definida dada por $F={\int }_a^{b}q\left(x\right)·dx$ e, para determinar o ponto de aplicação é necessário conhecer o centroide da área sob a curva da carga distribuída.

O ponto de aplicação tem linha de ação passando por esse centroide, atuando na viga. O centroide é determinado pela integral $\overline{x}=\frac{\int x·dA}{A}$.

O DCL é esquematizado a partir dos cálculos anteriores, as eventuais cargas concentradas e as reações nos apoios (que dependem do gênero do apoio).

Feita essa fase inicial de determinação das reações, um modelo será apresentado para que uma função possa descrever os esforços internos com dependência da posição x da seção. Tendo essas funções, é possível utilizar uma ferramenta computacional para desenhar os diagramas de esforço cortante e momento fletor (DEC e DMF).

A Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-RJ), por meio de um de seus professores, Luiz Fernando Martha, desenvolveu um software (FTOOL) que determina, dentre outros valores, as reações nos apoios de vigas, pórticos, quadros bidimensionais, os diagramas de esforço normal, de esforço cortante e de momento fletor. Uma ferramenta acadêmica muito difundida e um ótimo software de estruturas para modelos bidimensionais (na seção Explore + está o site que leva à versão mais nova do FTOOL (4,0), que tem a versão acadêmica, gratuita, e a profissional, com licença.).

Será realizado um exemplo já resolvido (viga biapoiada de 3 m de comprimento com carga triangular). Determinação dos esforços cortante e fletor em x = 1 m, para fins de comparação, a partir do FTOOL versão 3.1.

• Inicialmente, desenha-se a viga com o comprimento desejado.
• Depois, os apoios são vinculados à estrutura. No input, deverão ser informadas as restrições do apoio para que o software consiga identificá-los.

Por exemplo, um apoio de 2º gênero deverá apresentar as informações de restrições em x e y e rotação livre.

Observe parte da tela do FTOOL na figura a seguir, em que informações para o apoio são apresentadas.

Perceba a importância de se conhecer bem as restrições impostas pelos apoios. Nesse caso, as translações em x e y são nulas e a rotação permitida, ou ainda, trata-se de um apoio de segundo gênero.

Após a montagem da barra e o carregamento desejado, a tela para o modelo proposto no problema terá o aspecto mostrado na figura seguinte.

Numa terceira etapa de “alimentação” do software, são necessários parâmetros geométricos da seção reta da viga (forma, dimensões etc.) e parâmetros do material que constitui a viga.

Cumprida essa etapa, os diagramas de esforço cortante e momento fletor podem ser apresentados, assim como as reações nos apoios.

Observe na figura, a seguir, o DEC, as reações nos apoios e o esforço cortante para x = 1 m afastado do apoio à esquerda.

Na figura, a seguir, há o DMF para o exemplo proposto.

Observe o valor do momento fletor em x = 1 m. Cabe ressaltar que a convenção utilizada pelo FTOOL para o DMF é oposta a que foi adotada nesse tema, ou seja, valores positivos do momento encontram-se abaixo da viga e vice-versa.

Teoria na prática

Considere uma estrutura em que parte dela apresenta uma viga biapoiada com peso próprio de 300 kN e comprimento 6 m. A 1/3 de cada apoio existe uma viga apoiada, tal que cada uma equivale a uma carga concentrada de 100 kN. Inicialmente, será feito um estudo para a criação de uma modelo físico simplificado. Duas premissas serão adotadas para a simplificação do modelo físico: a viga é isostática e homogênea. Sendo assim, os apoios são de primeiro e segundo gêneros. Uma vez que a viga é homogênea, o peso total será distribuído ao longo do comprimento, ou seja, um carregamento uniformemente distribuído de 300/6 = 50 kN/m. Dessa forma, a figura a seguir representa a modelagem física da situação apresentada.

Como segunda etapa, será realizada a modelagem matemática do problema. As equações decorrem do equilíbrio estático (translacional e rotacional) do corpo rígido. Para tanto, será desenhado o DCL da viga. Substituição do carregamento distribuído por uma força concentrada.

• Intensidade: área do retângulo = 50 . 6 = 300 kN;
• Ponto de aplicação: linha de ação passando pelo centroide, ou seja, pelo ponto médio da base do retângulo (3 m).

A seguir, está o DCL da viga.

Aplicando-se as equações de equilíbrio do corpo rígido:

Na terceira etapa, utilização da ferramenta computacional. A partir das equações (*), (**) e (***) é possível escrever o sistema de equações lineares 3 . 3.

O sistema é de fácil resolução, mas também é possível utilizar uma ferramenta computacional para este objetivo. Vários programas estão disponíveis para a resolução de sistemas lineares.

Geralmente, utilizam-se regras conhecidas como a de Cramer, a de Gauss-Jordan, a da decomposição LU etc. O aluno também pode desenvolver um programa numa linguagem de programação (C++, Python etc.) que conheça e utilizá-lo.

Aplicando uma ferramenta computacional, determinam-se R_BY = 250 kN, R_AY = 250 kN e R_AX = 0. Para a determinação dos diagramas de esforço cortante e momento fletor (DEC e DMF) será utilizado o FTOOL.

Perceba que esse software também determina as reações, o que eliminaria a etapa anterior. Seguem os diagramas da viga.

Para utilização do FTOOL, foram feitos alguns inputs (tipo de apoios, carregamentos, seção reta, propriedades do material etc.). Observe alguns detalhes no diagrama de esforço cortante (DEC). O coeficiente angular de cada reta terá valor igual a -50, que equivale a - q(x). Por exemplo, na primeira reta, o coeficiente angular será determinado por $coef·angular=\frac{150-250}{2}= -50 N$.

Similarmente, pode-se fazer para as demais retas do DEC. Nos dois pontos de aplicação das cargas concentradas, existem dois degraus cujos valores equivalem aos das intensidades das forças concentradas (150 – 50 = 100 kN). Além disso, as reações nos apoios estão mostradas no DEC.

Também utilizando a ferramenta FTOOL, é possível gerar o diagrama de momento fletor (DMF) para a viga em estudo.

Observe que o DMF, em situações mais simplórias, pode ser rapidamente determinado a partir do DEC. Primeiramente, o DEC é representado por funções do primeiro grau (retas), assim o DMF será composto por funções do segundo grau (parábolas). A partir das áreas sob o DEC, descobre-se a variação do momento fletor no comprimento da viga analisado. Note que, no DMF, para se chegar ao valor de 400 kN.m, bastaria ter feito a área correspondente ao intervalo no DEC (área do trapézio) e a partir do zero (apoio de segundo gênero não impede rotação) traçar uma parábola. De maneira sucessiva, completa-se o DMF. Cabe ratificar que o FTOOL utiliza como convenção, no desenho do DMF, valores positivos abaixo da viga.