Bases Numéricas

O sistema numérico, que utilizamos rotineiramente, utiliza 10 símbolos (também chamados de algarismos) para representar os números: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Combinando esses símbolos, podemos representar qualquer valor.

Não há nada de especial em relação ao número 10, podemos representar os números em diferentes bases. Por exemplo, na base 8 teremos os dígitos: 0, 1, 2, 3, .... e 7, assim a representação dos números de 0 a 12 na base 8 é:

Note que a identificação da base é realizada com o número da base subscrito à direita do número, por exemplo, 10₈.

Também podemos utilizar bases de ordem superior a dez. Nesse caso, usamos as letras do alfabeto para representar os algarismos com valor superior a 9.

A base 2, ou binária, e a base hexadecimal são muito utilizadas em eletrônica digital e, por isso, recebem uma identificação simplificada.

Na tabela, a seguir, podemos ver como são representados os números de 0 a 20 em diferentes bases.

Repare que quando os números são representados na base 2, normalmente, haverá muitos algarismos, aumentando a probabilidade de cometermos erros ao transcrever ou operar com esses valores.

Conversão de qualquer base para a decimal

Note que a formação dos números decimais segue uma regra de acordo com a posição dos algarismos. Iniciando pelo algarismo menos significativo, cada digito é multiplicado por 10 elevado à sua posição, considerando a primeira posição valendo zero.

Dizemos que o algarismo mais à esquerda é o mais significativo (MSB – Most Significant Bit), pois está na posição de maior valor. Igualmente, dizemos que o dígito mais à direita é o menos significativo (LSB – xLeast Significant Bit), pois ocupa a posição de menor valor. No caso do 1528 “1” é o algarismo mais significativo e “8” é o algarismo menos significativo.

A formação dos números na base decimal é apenas um caso particular. O caso geral, que vale para qualquer base, pode ser usado para converter os números de suas bases de origem para a decimal.

Apesar de a descrição parecer complicada, o processo é bem simples, veja nos exemplos abaixo:

Conversão da base decimal para qualquer base

Para converter um número da base 10 para qualquer base, utilizaremos o método das divisões sucessivas. Nesse método, dividimos o número sucessivamente pelo valor da base de destino. O processo é repetido até que o quociente seja menor que o valor da base, então, o número é formado pelo último quociente e os restos, sendo o último quociente o dígito mais significativo e os restos colocados na ordem inversa de que apareceram na divisão.

Pode parecer um processo complicado, mas no passo a passo, a seguir, veremos que é bem simples.

Passo 1

Converta 420 para a base hexadecimal:

Passo 2

Passo 3

Como o quociente do passo anterior é menor que o valor da base, paramos a divisão e formamos o número na base hexadecimal:

Destacando que 10 na base decimal corresponde ao algarismo A da base hexadecimal.

Assim, 420 = 1A4h.

Para agilizar o processo manual, podemos compactar a notação, como realizado nos exemplos abaixo:

A base binária

O sistema binário é extremamente importante para eletrônica digital, pois é o utilizado nas máquinas digitais até hoje.

Dessa forma, o dígito binário, também chamado de bit, é a menor quantidade de informação capaz de ser representada nos sistemas digitais. É comum na área de computação trabalhar com agrupamentos de bits, o conjunto de 4 bits é chamado de nibble e o de 8 bits é chamado de byte.

Convertendo entre a base binária e a hexadecimal

Operações com a base binária

Soma Aritmética

A operação de soma com binários e hexadecimais pode ser realizada da mesma forma com decimais. Sempre que a soma de dois algarismos excede a capacidade de representação da base com apenas um algarismo, aparece o carry, como pode ser visto abaixo.

Note que o sistema hexadecimal pode representar, com apenas 1 algarismo, até o número 15, que corresponde ao dígito hexadecimal “F”. No exemplo acima, F + A corresponde à seguinte soma no sistema decimal, 15 + 10 = 25. Convertendo 25 para hexadecimal obtém-se 19h, o “1” aparece na operação de soma como carry.

Subtração

A subtração com binários e hexadecimais, assim como a adição, é realizada de forma semelhante ao que é feito com os decimais. Ou seja, a operação é realizada dígito a dígito. Deve se tomar cuidado especial quando for preciso “pedir um”.

Veja o exemplo a seguir:

Exemplo:

A subtração 41 - 28 em decimal é realizada da seguinte forma:

Em binário, a mesma operação pode ser realizada como:

• Começamos normalmente pelos algarismos menos significativos

• Para poder realizar a operação no 3° algarismo menos significativo precisamos “pedir um” emprestado ao 4°:

• Nesse ponto da subtração, o 4° algarismo precisa “pedir um” emprestado, mas o 5° vale zero. Então, primeiro o 5° dígito deverá “pedir um” para o sexto algarismo:

• Finalmente o 3° algarismo pode pegar o valor que necessita para a substração e podemos finalizar a operação:

• Realizando a mesma operação utilizando a notação em hexadecimal:

Repare que quando o digito 9h “pede um” ele se transforma em 19h, ou seja, é somado 16 ao seu valor inicial.

Portas lógicas

As portas lógicas são circuitos digitais capazes de implementar funções simples de variáveis binárias, também conhecidas por variáveis booleanas. As portas lógicas são os elementos básicos de construção dos circuitos lógicos mais complexos.

A variável booleana pode assumir apenas dois níveis lógicos:

Logo, se em um sistema o 0 representa chave aberta, o 1 representará a chave fechada, se o 0 representa aparelho desligado, então o 1 representará o aparelho ligado etc.

A nomenclatura das portas lógicas é bastante indicativa da função que executam, facilitando a memorização.

Porta NÃO (NOT) ou Inversora

A porta NÃO é uma porta com apenas uma entrada, cuja saída é o estado oposto ao da entrada.

A tabela verdade da Porta NÃO e seu símbolo são apresentados abaixo:

A função NÃO é representada como $\mathrm{S}=\overline{\mathrm{A}}$, e se lê como “A barra” ou “não A”.

Porta E (AND)

A porta E necessita que todas as entradas sejam verdade (estado lógico 1) para que a saída seja verdade. Caso contrário, a saída é falsa (estado lógico 0). Essa porta realiza o que chamamos de produto lógico das variáveis booleanas.

A tabela verdade e o símbolo de uma porta E de duas entradas são:

A função E é representada como $\mathrm{S} = \mathrm{A} ·\mathrm{B}$ ou $\mathrm{S} = \mathrm{AB}$, e se lê como “A e B” ou “A multiplica B”.

Por exemplo, para uma porta E de três entradas.

$\mathrm{S} = \mathrm{A}·\mathrm{B}·\mathrm{C}=\mathrm{ABC}$, e se lê como “A e B e C”.

Porta OU (OR)

A porta OU realiza a soma lógica das variáveis booleanas. Sua saída é verdade (1) desde que pelo menos umas das entradas seja verdade (1). Assim como a porta E, a OU pode ter tantas entradas quanto se queira. A simbologia e a tabela verdade de uma porta OU de duas entradas são apresentadas a seguir:

S = A+B, e se lê como “A ou B” ou “A mais B”.

A simbologia e a tabela verdade para uma função OU de quatro variáveis de entrada são:

Note que a função lógica OU, com mais do que duas entradas, é totalmente diferente do que seria a soma aritmética dos mesmos bits.

Perceba também que como cada entrada pode assumir 2 valores (0 ou 1), a quantidade de combinações possíveis para as entradas é 2^N, com N sendo a quantidade de entradas. Então, no caso da porta OU com 4 entradas, há 2^4=16 combinações possíveis de entrada, como pode ser visto na sua tabela verdade.

Porta NÃO E (NAND)

Como sugerido pelo nome, essa porta é a negação da porta E. Ou seja, ela pode ser composta por uma porta E seguida pela porta NÃO.

Simbologia da Porta NÃO E:

A porta NÃO E opera como uma porta E seguida pela porta NÃO:

Assim, a sua tabela verdade é dada por:

E a expressão lógica da porta NAND é $\mathrm{S}= \overline{\mathrm{A}·\mathrm{B}}=\overline{\mathrm{AB}}$

Assim, como as portas E e OU, a porta NAND pode possuir múltiplas entradas.

Porta NÃO OU (NOR)

Análoga a porta NÃO E, a NÃO OU é a composição da OU com a NÃO. Assim como as demais, ela pode ter duas entradas ou mais. A simbologia, tabela verdade e expressão da porta NÃO OU são dadas a seguir:

Porta OU EXCLUSIVO (EXCLUSIVE OR), XOR

A porta OU EXCLUSIVO, assim como as outras portas, pode ter mais do que duas entradas, porém esse caso é incomum e seu funcionamento é ligeiramente diferente. Estudaremos apenas a porta OU EXCLUSIVO de duas entradas.

Como o seu nome sugere, a saída da porta OU EXCLUSIVO é verdade (1), se, e somente se, uma entrada for verdade (1) e a outra for falsa (0). Ou seja, se as entradas forem diferentes.

A representação da porta XOR e sua tabela verdade são:

A expressão da porta lógica XOR é $\mathrm{S}=\mathrm{A}\oplus \mathrm{B}$ lê-se “A ou exclusivo B”, ou “A XOR B”.

A expressão da XOR pode ser escrita em função das portas E, OU e NÃO: $\mathrm{S}=\mathrm{A}\oplus \mathrm{B}=\overline{\mathrm{A}}·\mathrm{B}+\mathrm{A}·\overline{\mathrm{B}}$

A seguir, mostramos a implementação da expressão obtida para a porta XOR:

Porta NÃO OU EXCLUSIVO (NOT EXCLUSIVE OR), XNOR

É a negação da porta OU EXCLUSIVO. Dessa forma, a porta XNOR possui saída verdade (1) se, e somente se, as entradas forem iguais.

$\mathrm{S}=\overline{\mathrm{A}\oplus \mathrm{B}}=\mathrm{A}·\mathrm{B}+\overline{\mathrm{A}·\mathrm{B}}$ lê-se A não ou exclusivo B, ou A XNOR B.

Obtenção da função booleana a partir dos circuitos lógicos

Obtenção dos circuitos lógicos a partir da função booleana

Para obter o circuito lógico a partir da expressão booleana, basta identificar as funções lógicas e as desenhar de acordo com a precedência das operações.

Obtenção da tabela verdade a partir da função booleana

Conforme a complexidade da expressão booleana aumenta, obter a tabela verdade por simples inspeção se torna cada vez mais difícil. Nesses casos, pode-se utilizar os seguintes passos para obtê-la a partir da expressão booleana:

Obtenção da função booleana a partir da tabela verdade

Obter uma função booleana a partir da tabela verdade é simples, basta seguir dois passos:

No exemplo, a seguir, está ilustrado o método junto à explicação de como ele funciona.

Exemplo:

Obter uma função booleana que gere a tabela verdade abaixo:

Primeiro, suponha uma porta OU com entradas X e Y. Note que pela tabela verdade da porta OU se X = 1 então S = 1, como pode ser visto nas linhas em destaque da tabela verdade abaixo:

Ou seja, 1 + Y = 1, independente do estado lógico de Y!

Retomando a tabela verdade do exemplo, para que a primeira linha (A = 0, B = 0 e C = 0) possua saída S = 1, deve-se incluir o termo $\overline{\mathrm{A}}·\overline{\mathrm{B}}·\overline{\mathrm{C}}$, note que esse termo produz saída 1 se, e somente se, A = B = C = 0. Ou seja:

Para que a linha A = 0 e B = C = 1 possua saída 1, utiliza-se o termo $\overline{\mathrm{A}}·\mathrm{B}·\mathrm{C}$

Da mesma maneira, temos que para a linha A = B = C = 1 tenha S = 1, utiliza-se o termo A .B .C

Assim, temos a seguinte tabela verdade:

Fazendo $\mathrm{S}=\overline{\mathrm{A}}·\overline{\mathrm{B}}·\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}·\mathrm{B}·\mathrm{C}+\mathrm{A}·\mathrm{B}·\mathrm{C}$:

Esse é o resultado desejado! Logo $\mathrm{S}=\overline{\mathrm{A}}·\overline{\mathrm{B}}·\overline{\mathrm{C}}+\overline{\mathrm{A}}·\mathrm{B}·\mathrm{C}+\mathrm{A}·\mathrm{B}·\mathrm{C}$

Neste módulo, estudaremos os teoremas e propriedades da Álgebra Booleana e veremos como eles podem ser utilizados para simplificar as funções booleanas.

Teoremas elementares

Os primeiros 9 teoremas são bastante simples de se verificar.

Para verificar os teoremas 2) e 3) basta analisar a tabela verdade da porta OU:

4) $\mathrm{A} ·1 = \mathrm{A}$

5) $\mathrm{A} ·0 = 0$

Para verificar os teoremas 4) e 5) basta analisar a tabela verdade da porta E:

6) $\mathrm{A} + \mathrm{A} = \mathrm{A}$

7) $\mathrm{A}+\overline{\mathrm{A}}=1$

Para verificar os teoremas 6) e 7), será analisado a tabela verdade da porta OU, com uma mudança conveniente na ordem em que as combinações das entradas aparecem:

8) $\mathrm{A} · \mathrm{A} = \mathrm{A}$

9) $\mathrm{A}·\overline{\mathrm{A}}=0$

Para verificar os teoremas 8) e 9), será analisado a tabela verdade da porta E, com uma mudança conveniente na ordem em que as combinações das entradas aparecem:

Propriedades

As propriedades da álgebra booleana são muito fáceis de se lembrar, pois seguem as mesmas regras da álgebra matemática usual.

Para demonstrar como as propriedades e teoremas vistos até agora podem ser utilizados na simplificação das expressões booleanas, faremos uma série de exemplos com expressões simples.

Exemplos

Prove as simplificações:

Teoremas de De Morgan

Os teoremas de De Morgan são de grande importância para a simplificação de expressões booleanas. São eles:

No módulo anterior, vimos como simplificar expressões booleanas utilizando a álgebra boolena. Apesar desse método ser muito prático para expressões simples, pudemos perceber que esse processo pode ser bastante trabalhoso e complicado dependendo da complexidade da função booleana.

Além disso, ao realizar a simplificação pela álgebra de boole, nem sempre temos certeza de que obtivemos a expressão mais simples possível.

A utilização do Mapa de Karnaugh permite, a partir da tabela verdade, a obtenção da função booleana mais simples que representa um circuito de maneira sistemática, rápida e prática. Estudaremos os mapas de Karnaugh para circuitos com 2, 3 ou 4 entradas.

Formato do Mapa de Karnaugh

Primeiro, definimos que cada combinação possível de entradas de uma função Boolena é um mintermo. Então, para uma função de três variáveis, por exemplo, temos que o mintermo 3 é $\overline{\mathrm{A}}·\mathrm{B}·\mathrm{C}$

No mapa de Karnaugh, cada quadrado ou célula, corresponderá a um mintermo, ou seja, a uma possível combinação possível das variáveis de entrada. A seguir, podemos observar o formato dos mapas de Karnaugh para 2, 3 ou 4 variáveis.

Um conceito muito importante no Mapa de Karnaugh é o de vizinhança entre células. Duas células são vizinhas quando a variação entre seus mintermos é de apenas 1 bit.

A vizinhança pode ser identificada graficamente. Duas células são vizinhas se fazem fronteira entre si, ou seja, compartilham uma aresta, sendo que as arestas externas opostas do mapa de Karnaugh são consideradas a mesma aresta. Na Figura 13, as arestas externas de mesma cor são consideradas uma só para fins de verificação de vizinhança.

Assim, se uma célula está em uma borda do mapa, ela é vizinha da célula na borda oposta. Por exemplo, no mapa de 4 variáveis, as vizinhas da célula 0 são as células 1, 2, 4 e 8.

Preenchimento do Mapa de Karnaugh

O preenchimento do Mapa de Karnaugh é feito copiando o valor da função para cada célula correspondente do mapa.

Exemplo:

Dada a tabela verdade da função S, abaixo, preencha o mapa de Karnaugh correspondente:

Minimização utilizando mapa de Karnaugh

A minimização baseada no mapa de Karnaugh se baseia em agrupar células vizinhas nas quais o valor da função é 1. Os agrupamentos podem ser:

Em seguida, devemos identificar a expressão booleana que corresponde a cada agrupamento. Para tal, observamos quais variáveis booleanas possuem mesmo valor em todas as células do grupo. A expressão do agrupamento é o mintermo das variáveis que não alteram seu valor.

Ao realizar os agrupamentos, devemos seguir as seguintes regras:

Baseando-se nessas regras, a minimização por mapa de Karnaugh deve seguir o seguinte passo a passo:

1. Montar a tabela verdade, caso ela não tenha sido fornecida. Por exemplo, se for dado a expressão booleana ao invés da tabela verdade.
2. Montar o mapa de Karnaugh.
3. Preencher o mapa de Karnaugh.
4. Agrupar as óctuplas de “1”.
5. Agrupar as quadras de “1”, em que nem todos os “1” pertençam as óctuplas já formadas.
6. Agrupar todas as duplas de “1”, em que nem todos os “1” pertençam aos agrupamentos já formados.
7. Agrupar os “1” que não participam de nenhum agrupamento em ilhas.
8. Verificar se todos os agrupamentos incluem pelo menos um “1” único, descartando os que não.

Seguindo esses passos corretamente, o resultado, em geral, será a soma mais simples de mintermos que implementa a função pretendida.

Condições Irrelevantes (Don’t Cares)

Condições irrelevantes ("X") são combinações de entradas em que, para o projetista do circuito, não importa a saída. Essa situação ocorre, principalmente, porque nos sistemas reais, muitas vezes, há combinações impossíveis de ocorrer.

O passo a passo para a simplificação, utilizando o mapa de Karnaugh, se mantém inalterado, porém haverá no mapa de Karnaugh, além de “0”s e “1”, “X”s.

A inclusão ou não deve ser realizada de forma que gere os melhores agrupamentos e, assim, a expressão mais simplificada possível.