Descrição

Histórico sobre os principais desenvolvimentos e as contribuições na área de sistemas de controle. Terminologia básica. Classificação de sistemas. Representação de sistemas dinâmicos em espaço de estado. Conceitos básicos sobre a modelagem. Modelos em espaço de estado. Exemplos de modelagem de sistemas elétricos e mecânicos. Métodos de realização da função de transferência. Cálculo da função de transferência a partir de um modelo em espaço de estado. Análise de estabilidade. BIBO estabilidade. Estabilidade interna. Cálculo de autovalores. Transformação de similaridade.

PROPÓSITO

Compreender a modelagem sob a forma de espaço de estado, visando à análise e aplicação no controle de sistemas dinâmicos.

Preparação

Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica.

OBJETIVOS

Módulo 1

Descrever a terminologia empregada na área de sistemas de controle

Módulo 2

Formular modelos em espaço de estado para os sistemas dinâmicos

Módulo 3

Calcular realizações de funções de transferência de sistemas dinâmicos

Módulo 4

Analisar a estabilidade de sistemas dinâmicos

Modelagem de Sistemas de Controle em Espaço de Estados

MÓDULO 1

Descrever a terminologia empregada na área de sistemas de controle

Introdução

Na primeira metade do século XX, mais precisamente nos anos 1940 e 1950, foi desenvolvida o que hoje é conhecida por Teoria de Controle Clássico. Tal teoria é composta, basicamente, pelas seguintes ferramentas e técnicas: o diagrama de Resposta em Frequência, que também é conhecido por diagrama de Bode; a técnica e o gráfico do Lugar das Raízes ou Root Locus; o diagrama e o critério de Nyquist, e, finalmente, o diagrama de Nichols.

Em termos de aplicações de sistemas de controle automáticos, entre as primeiras e mais conhecidas, pode-se citar o controlador centrífugo de uma máquina a vapor, criado por James Watt em 1778; os trabalhos de Minorsky sobre pilotagem de navios, em 1922, e, em termos militares, as primeiras versões de radares antiaéreos, que surgiram durante a Segunda Guerra Mundial.

A teoria de controle clássico é baseada no domínio da frequência, ou seja, os métodos e modelos utilizados são do tipo frequencial. Toda a teoria é suportada por desenvolvimentos matemáticos, como as conhecidas transformadas de Laplace e de Fourier. Em função da natureza frequencial, os modelos normalmente empregados nas técnicas de controle clássico são as funções de transferência (FT).

Quando o sistema analisado apresenta um comportamento linear e pode ser modelado dessa forma, a sua função de transferência apresenta um formato racional, isto é, como a razão de dois polinômios em s, conforme exemplificado a seguir:

$G (s) = \frac{s^{2} + 3 s + 1}{s^{3} + 4 s^{2} + 2 s + 7}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Isso ocorre, naturalmente, em diversas áreas do conhecimento, como em circuitos lineares, sistemas mecânicos modelados por equações diferenciais ordinárias, etc. Essa aplicabilidade em múltiplas áreas do conhecimento e, em particular, nos diversos ramos de engenharia, torna a teoria de sistemas de controle uma ferramenta bastante versátil. Observe que, por meio dela, um problema físico específico de determinada área do conhecimento é transformado em um problema matemático, a ser tratado pelas metodologias disponíveis.

É importante perceber que um bom projeto de controle está associado à existência de um modelo matemático. Não que seja impossível, na prática, realizar o controle de determinado sistema sem ter um modelo, mas os resultados, certamente, serão bem mais precários do que aqueles envolvendo o ferramental matemático disponível.

Os modelos, por melhor que sejam, são aproximações do comportamento real do sistema dinâmico sob estudo. Uma infinidade de modelos pode ser ajustada para certo sistema, de acordo com a complexidade exigida. Contudo, deve-se procurar um meio termo, isto é, um modelo que não seja demasiadamente simples, a ponto de não representar, condizentemente, o comportamento do sistema dinâmico real desejado. Por outro lado, também não deve ser mais complexo do que o necessário, pois dificultaria ou impossibilitaria o seu emprego, seja pelo excesso de tempo no processamento computacional, seja pela dificuldade no tratamento matemático.

A Figura 1 apresenta a concepção normalmente desejada para a obtenção de um modelo. Submetendo-se o sistema e o modelo com a mesma entrada u(t), deseja-se ajustar o modelo de maneira que sua saída y_M(t) apresente valores numericamente iguais ou próximos, segundo algum critério bem definido, ao que for medido na saída y_S(t) do sistema dinâmico.

As áreas de estudo que tratam mais diretamente da produção de modelos são as de modelagem e de identificação. Na área de modelagem, buscam-se técnicas que utilizem as equações relacionadas com as grandezas físicas dos fenômenos envolvidos, a fim de se obter um modelo. Já o foco da área de identificação é voltado para o ajuste de modelos numéricos em formatos (espaço de estado, função de transferência, etc.) previamente determinados, a partir de medições dos sinais de entrada e de saída no sistema real em estudo.

Terminologia

A seguir, são apresentados alguns termos utilizados com frequência na área de sistemas de controle, conforme OGATA (2003) e FRANKLIN et al. (2013):

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Sistema, planta ou processo

Matematicamente, é o agente transformador que gera o sinal de saída a partir do sinal de entrada. Representam um conjunto de equipamentos ordenados de maneira a executar determinada operação. Apresentam o mesmo significado dentro da disciplina, mas a utilização de algum deles pode ser mais indicada em determinadas condições. Por exemplo, é costume se referir a um processo químico, e não a um sistema químico.

Perturbação ou distúrbio

Sinal indesejável que tende a afetar o comportamento do sistema e, consequentemente, de sua saída. Por exemplo, os ruídos que afetam os sensores utilizados nos sistemas são típicos sinais indesejáveis, chamados de perturbação.

Sistema de controle em malha aberta

Aquele sistema em que a saída não tem efeito sobre a ação de controle. Por exemplo, a máquina de lavar. Representa um sistema cuja entrada é a roupa suja e a saída é a roupa lavada. Entretanto, não existe garantia de que, após a máquina completar seu ciclo, a roupa lavada estará limpa.

Sistema de controle em malha fechada

Também chamado de sistema de controle realimentado. Nesse tipo de sistema, a saída mantém uma relação prescrita com algum sinal de entrada de referência, gerando um sinal de erro, que é utilizado como um meio de controle. Por exemplo, o ferro de passar roupas. Ajusta-se o seletor (entrada de referência) para determinada temperatura. Quando o ferro alcança essa temperatura (saída do sistema), o aparelho interrompe automaticamente a alimentação de energia. Após algum tempo, quando a temperatura do ferro cai abaixo de certo limite, o aparelho volta a ligar e aquecer até alcançar a temperatura selecionada novamente.

Sistema regulador

São controles que, quando acionados, fazem com que o sistema controlado retorne à sua posição inicial. Por exemplo, um satélite em órbita na Terra. Para que o satélite funcione corretamente, ele deverá manter suas antenas alinhadas com a região que deverá receber o sinal transmitido. Ocorre que, periodicamente, há um desalinhamento das antenas do satélite em órbita. O sistema regulador é, então, acionado para que suas antenas retornem para o alinhamento previsto.

Servomecanismos
(ou servossistemas)

Normalmente, esse termo é utilizado como referência de um sistema de controle mecânico. Por exemplo, o freio ABS dos automóveis é um servomecanismo.

Classificação de sistemas

A seguir, estão apresentados alguns conceitos e classificações importantes sobre sistemas:

a) Lineares versus não lineares

Os sistemas lineares são aqueles que atendem ao princípio da superposição. Esse princípio é formado por duas propriedades:

Aditividade

A propriedade de aditividade significa que, se submetermos, na entrada do sistema, a soma de dois sinais de entradas distintos, então a resposta do sistema deverá ser a soma das respostas individuais de cada entrada.

Homogeneidade

Já a propriedade de homogeneidade significa que, se o sinal de entrada for amplificado de um fator A, então a resposta gerada pelo sistema também será amplificada pelo mesmo fator A.

Na Figura 2, essas propriedades são apresentadas graficamente.

Figura 2 – Resposta do sistema para (a) entrada u₁(t) e entrada u₂(t); (b) entrada u₁(t) + u₂(t) [propriedade da aditividade]; (c) entrada Au₁(t) [propriedade da homogeneidade].

Caso, ao menos, uma dessas propriedades não seja atendida, então o sistema será não linear. Nesta disciplina, serão considerados apenas os sistemas lineares.

b) Contínuo versus discreto

Embora seja costume dizer sistema contínuo e sistema discreto, a notação correta deveria ser sistema a tempo contínuo e sistema a tempo discreto. No primeiro caso, o tempo t é uma variável real.

Já no segundo, o tempo somente é considerado em múltiplos inteiros de T, isto é:

$t = k T, com k \in {..., - 1, 0, + 1, ...}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Em que:

T é conhecido como período de discretização ou período de amostragem.

Um sistema discreto é mais apropriado para a realidade digital, uma vez que os sinais de entrada e de saída passam a ser representados como conjuntos de valores e armazenados sob a forma de vetor. Além disso, os sinais passam a adotar a seguinte notação: u(t) = u(kT) = u(k), já que T é uma constante (valor fixo).

Comentário

Observe que, tanto para sistemas contínuos como para discretos, os sinais u(t), y(t), ... ou u(k), y(k), ... são valores reais.

Na Figura 3, encontra-se ilustrado um sinal u para um sistema contínuo e para um sistema discreto.

Figura 3 – Sinal u(t) para (a) sistema contínuo e (b) sistema discreto.

Vale observar que o gráfico do sinal u é exatamente o mesmo em ambos os sistemas. Entretanto, no sistema discreto, somente existem valores de u para os pontos em t = kT, com T = 2 s para o caso ilustrado na Figura 3(b).

Neste tema, serão abordados tanto sistemas contínuos como sistemas discretos.

c) Dinâmicos versus instantâneos

Um sistema dinâmico é um sistema com memória, isto é, a saída desse sistema depende do sinal submetido em sua entrada, mas também de seu estado anterior. Essa memória corresponde às condições iniciais do sistema.

Exemplo

No caso de um circuito contendo capacitor, a resposta desse circuito dependerá do sinal submetido na entrada do circuito, mas também da carga inicialmente armazenada no capacitor.

Em contrapartida, os sistemas instantâneos são aqueles que não possuem memória. É o caso, por exemplo, de um resistor. Se a entrada for a tensão aplicada no resistor, e a saída, a corrente elétrica que passará por ele, então o valor da corrente em determinado instante dependerá, exclusivamente, da tensão aplicada nesse mesmo instante.

d) Invariante no tempo versus variante no tempo

Um sistema invariante no tempo é aquele que mantém o mesmo comportamento ao longo do tempo, independentemente do momento em que a entrada for submetida.

Exemplo

No caso de um circuito, independentemente de determinado sinal de tensão elétrica ser aplicado hoje ou amanhã na entrada do circuito, a resposta será igual, apenas deslocada no tempo.

Em um sistema variante no tempo, o seu comportamento se altera com um tempo.

Exemplo

Considere um carro novo como um sistema. As entradas são os comandos do motorista, e a saída é o comportamento do carro na estrada. Pois bem, como o carro possui pneus novos, apresentará o mesmo comportamento se ocorrer uma frenagem brusca hoje ou daqui a uma semana. Entretanto, se for considerado um intervalo de tempo mais longo, digamos dois anos, seus pneus já estarão gastos e, consequentemente, o comportamento do carro em uma frenagem hoje, com os pneus novos, será diferente daquele em dois anos, com os pneus carecas. Nesse caso, considerando o lapso temporal de dois anos, o carro seria um sistema variante no tempo.

Observe que, em intervalos de tempo menores, um sistema variante no tempo pode se transformar em um sistema invariante no tempo.

Neste tema, serão considerados apenas sistemas invariantes no tempo.

e) Relaxado versus não relaxado

Sistema relaxado é aquele que apresenta condições iniciais nulas.

Exemplo

No caso de um circuito contendo capacitor, ele estará relaxado quando o capacitor estiver descarregado.

Em contrapartida, os sistemas não relaxados apresentam condições iniciais não nulas. Nesse caso, o circuito estaria como o capacitor carregado, apresentando um valor de tensão não nulo entre seus terminais.

Neste tema, serão considerados ambos os casos.

f) Determinístico versus estocástico

Sistema determinístico é aquele em que o modelo não apresenta dependência com variáveis aleatórias. O modelo pode ser variante no tempo, ou seja, altera-se com o passar do tempo, mas não depende de probabilidade. Um sistema estocástico, por outro lado, é aquele que envolve variáveis aleatórias.

Neste tema, será considerado apenas sistemas determinísticos.

g) Causais versus não causais

Modelos não causais

São aqueles existentes na matemática, mas não na realidade física. As suas respostas atuais podem depender de entradas que ocorrerão no futuro.

Modelos causais

São aqueles em que a resposta atual é consequência das entradas passadas e das atuais, bem como das condições iniciais do sistema.

Neste tema, somente há interesse em sistemas causais.

h) Número de entradas e número de saídas

De acordo com o número de entradas e o número de saídas existentes no sistema, este apresenta nomenclatura diferente. No caso de o sistema apresentar apenas uma entrada e uma saída, este será chamado de sistema monovariável ou sistema SISO (single input single output).

Por outro lado, caso o sistema apresente mais de uma entrada e/ou mais de uma saída, será dito sistema multivariável. Esse tipo de sistema é ainda classificado como MISO (multiple input single output), quando possui várias entradas e uma única saída.

Comentário

Se o sistema tiver apenas uma entrada e múltiplas saídas, também é conhecido por sistema SIMO (single input multiple output). Finalmente, quando o sistema apresenta múltiplas entradas e múltiplas saídas, é conhecido como sistema MIMO (multiple input multiple output).

Neste tema, todos esses tipos de sistemas poderão ser abordados indistintamente.

Teoria na prática

Uma esposa, em casa, conversando com seu marido, engenheiro, menciona que o ferro elétrico de passar roupas deles, comprado há 20 anos, continua funcionando muito bem, como se tivesse sido adquirido ontem. Se imaginarmos esse ferro elétrico como um sistema, cuja entrada seria o comando de temperatura no seletor e sua saída seria a temperatura mantida pelo ferro elétrico, poderíamos classificar esse sistema como invariante no tempo?

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RESOLUÇÃO

Classificando o sistema

Mão na Massa

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MÓDULO 2

Formular modelos em espaço de estado para os sistemas dinâmicos

Introdução

Neste módulo, será apresentada a modelagem em espaço de estado de sistemas dinâmicos, empregada na teoria de controle moderno, que é desenvolvida no domínio do tempo.

Esse tipo de modelo é muito utilizado em aplicações de controle, para a análise e simulação de sistemas, principalmente nos casos de maior ordem e complexidade, que necessitam de computadores digitais.

Nesses modelos, as leis que regem a dinâmica do sistema são organizadas sob a forma de um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, em que surgem três tipos de variáveis, ou seja, as variáveis de estado, as variáveis de entrada e as variáveis de saída.

Como será discutido mais adiante, um mesmo sistema poderá ser modelado por meio de inúmeras realizações em espaço de estado. De acordo com OGATA (2003), se os fenômenos envolvidos puderem ser expressos por equações diferenciais ordinárias, os modelos em espaço de estado encontram aplicabilidade não somente nos sistemas físicos que surgem nos ramos de engenharia, mas também em sistemas biológicos, econômicos, sociais e outros.

Na teoria de controle clássico, o modelo matemático utilizado se encontra sob a forma de função de transferência. Logicamente, conforme será visto, para um mesmo sistema, haverá uma correspondência entre a sua função de transferência e os modelos em espaço de estado. Isso quer dizer que, conhecida a função de transferência, será possível transformá-la em um modelo em espaço de estado. Essa operação é conhecida, na literatura, por realização da função de transferência. Da mesma forma, conhecido um modelo em espaço de estado, será possível calcular e determinar sua correspondente função de transferência.

Conceitos básicos

Antes de prosseguir, considere alguns conceitos básicos sobre esse tipo de modelo, conforme abordado em Ogata (2003) e Franklin, Powell e Naeini (2013):

Estado

O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis, conhecidas por variáveis de estado, tais que o conhecimento delas no instante t = t₀, juntamente com o sinal de entrada u(t) para t ≥ t₀, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t ≥ t₀.

Variáveis de estado

Consiste no menor conjunto de variáveis capaz de determinar o estado do sistema dinâmico modelado. Se, pelo menos, n variáveis x₁, x₂, ..., x_nsão necessárias para descrever o comportamento do sistema dinâmico e, sendo conhecidos o sinal de entrada u(t) para t ≥ t₀, bem como o estado inicial do sistema em t = t₀, então os estados futuros desse sistema poderão ser completamente determinados para qualquer t > t₀, e esse conjunto de n variáveis será chamado de variáveis de estado.

Observe que os estados futuros são os valores assumidos pelas variáveis de estado em certo instante t > t₀, isto é: x₁(t), x₂(t), ..., x_n(t).

O valor de n também determina a ordem do modelo em espaço de estado.

Exemplo

Se n = 2, então teremos dois estados: x₁ e x₂; e um modelo em espaço de estado de 2ª ordem.

Dependendo da forma como são escolhidas, as variáveis de estado podem apresentar um significado físico e serem, inclusive, mensuráveis na prática, ou apresentar apenas um sentido matemático.

Exemplo

Em determinado modelo de um circuito RLC, o estado x₁ pode representar a tensão sobre o capacitor.

Também é possível determinar modelos em espaço de estado para um sistema, sem que os estados apresentem significado físico, isto é, com estes sendo apenas variáveis matemáticas. Nesses casos, a correspondência entre o sistema real e o modelo, quando este estiver bem ajustado, será dada somente em relação ao sinal de saída y(t), visto que ambos serão submetidos ao mesmo sinal de entrada u(t) e terão iniciado seus funcionamentos a partir das mesmas condições iniciais.

Vetor de estado

É o vetor que contém, ordenadamente, as n variáveis necessárias para descrever o comportamento dinâmico do sistema modelado. O vetor é designado, normalmente, por x ou x. Desse modo, o vetor de estado será:

$\underline{x} = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$

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Espaço de estado

É o espaço n-dimensional gerado pelas variáveis de estado, com cada uma delas formando um dos eixos de coordenadas. Assim, por exemplo, em um sistema de 2ª ordem, existiriam duas variáveis de estado: x₁ e x₂. O vetor de estado seria x = [x₁x₂]^T, e o espaço de estado seria a região do plano x₁ x x₂, contendo os possíveis valores das trajetórias do vetor de estado. Se x₁ e x₂ puderem assumir quaisquer valores reais, então o espaço de estado será o próprio espaço vetorial R².

Modelo em espaço de estado

O modelo em espaço de estado é formado pelas equações de estado e pelas equações algébricas de saída. Nessas equações, existem três tipos de variáveis, isto é:

Clique nas informações a seguir. Clique nas informações a seguir.

Os estados

x₁(t), x₂(t), ... , x_n(t)

As entradas

u₁(t), u₂(t), ...

As saídas

y₁(t), y₂(t), ...

Assim, por exemplo, simplificando a notação, em um modelo em espaço de estado de 3ª ordem, SISO, existiriam as seguintes variáveis: estados x₁=x₁(t), x₂ e x₃; entrada u₁e saída y₁.

Se fosse um modelo MIMO de 4ª ordem, com três entradas e duas saídas, existiriam as seguintes variáveis: estados x₁, x₂, x₃ e x₄; entradas u₁, u₂ e u₃, e saídas y₁ e y₂.

As equações de estado são aquelas em que a primeira derivada de cada estado é escrita em função dos estados, das entradas e, no caso de modelos variantes no tempo, com a dependência explícita de t.

Assim, as equações de estado seriam apresentadas da seguinte forma:

$\begin{matrix} \overset{\cdot}{x_{1}} = \frac{d x_{1} (t)}{d t} = f_{1} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \\ \overset{\cdot}{x_{2}} = \frac{d x_{2} (t)}{d t} = f_{2} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \\ ⋮ \\ \overset{\cdot}{x_{n}} = \frac{d x_{n} (t)}{d t} = f_{n} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \end{matrix}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

De modo equivalente, as equações algébricas de saída poderiam ser escritas como:

$\begin{matrix} y_{1} (t) = g_{1} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots, u_{r}, t) \\ y_{2} (t) = g_{2} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots, u_{r}, t) \\ ⋮ \\ y_{m} (t) = g_{m} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots, u_{r}, t) \end{matrix}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Logo, em termos gerais, o modelo contínuo em espaço de estado pode ser apresentado como:

$\begin{matrix} \underline{\dot{x}} (t) = \underline{f} (\underline{x}, \underline{u}, t) \\ \underline{y} (t) = \underline{g} (\underline{x}, \underline{u}, t) \end{matrix}$

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em que x é o vetor de estados e y é o vetor de saídas, de acordo com:

$\begin{matrix} \underline{x} ( t) = [\begin{matrix} x_{1} (t) \\ x_{2} (t) \\ ⋮ \\ x_{n} (t) \end{matrix}] & \underline{y} ( t) = [\begin{matrix} y_{1} (t) \\ y_{2} (t) \\ ⋮ \\ y_{m} (t) \end{matrix}] \end{matrix}$

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sendo f e g os vetores contendo, respectivamente, as funções dos estados e as funções de saída:

$\underline{f} (\underline{x}, \underline{u}, t) = [\begin{matrix} f_{1} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \\ f_{2} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \\ ⋮ \\ f_{n} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \end{matrix}]$

$\underline{g} (\underline{x}, \underline{u}, t) = [\begin{matrix} g_{1} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \\ g_{2} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \\ ⋮ \\ g_{n} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \end{matrix}]$

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Nesse tema, os modelos considerados serão lineares e invariantes no tempo. Dessa forma, não haverá uma dependência explícita com a variável de tempo t no modelo. Além disso, por serem lineares, as funções f₁, f₂, ... das equações de estado se apresentarão sob a forma de combinações lineares dos estados e das entradas, de acordo com:

$\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} = a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} + b_{11} u_{1} + \dots + b_{1 r} u_{r} \\ {\dot{x}}_{2} = a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} + b_{21} u_{1} + \dots + b_{2 r} u_{r} \\ ⋮ \\ {\dot{x}}_{n} = a_{n 1} x_{1} + a_{n 2} x_{2} + \dots + a_{n n} x_{n} + b_{n 1} u_{1} + \dots + b_{n r} u_{r} \end{matrix}$ (1)

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Assim como as funções g₁, g₂, ... nas equações de saída:

$\begin{matrix} y_{1} = c_{11} x_{1} + c_{12} x_{2} + \dots + c_{1 n} x_{n} + d_{11} u_{1} + \dots + d_{1 r} u_{r} \\ y_{2} = c_{21} x_{1} + c_{22} x_{2} + \dots + c_{2 n} x_{n} + d_{21} u_{1} + \dots + d_{2 r} u_{r} \\ ⋮ \\ y_{m} = c_{m 1} x_{1} + c_{m 2} x_{2} + \dots + c_{m n} x_{n} + d_{m 1} u_{1} + \dots + d_{m r} u_{r} \end{matrix}$ (2)

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Reescrevendo as equações em (1) e (2) sob a forma matricial, chega-se no formato tradicional dos modelos contínuos em espaço de estado para sistemas lineares [1, 2]:

$\begin{matrix} \underline{\dot{x}} (t) = A \underline{x} (t) + B \underline{u} (t) \\ \underline{y} (t) = C \underline{x} (t) + D \underline{u} (t) \end{matrix}$ (3)

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em que A, B, C e D são as matrizes que definem o modelo em espaço de estado.

Matrizes do modelo em espaço de estado

As matrizes do modelo são denominadas da seguinte forma:

A – matriz da dinâmica ou matriz de estado;

B – matriz de entrada;

C – matriz de saída;

D – matriz de transmissão direta.

É importante observar que essas matrizes do modelo em espaço de estado devem possuir dimensões compatíveis com o sistema que estiver sendo modelado.

Agora, veremos dois exemplos para entender melhor. Considere, no exemplo 1, a questão das dimensões das matrizes A, B, C e D do modelo em espaço de estado.

Exemplo 1

Considere um sistema de 4ª ordem, MISO, com 2 entradas. Quais seriam as dimensões das matrizes A, B, C e D do modelo em espaço de estado?

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RESOLUÇÃO

Como o sistema é de 4ª ordem, o vetor de estado x ∈ R^4x1. Além disso, como existem 2 entradas, a dimensão do vetor de entradas será u ∈ R^2x1. Analisando as dimensões das matrizes e dos vetores nas equações de estado, tem-se:

$[4 \times 1] = A [4 \times 1] + B [2 \times 1]$

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para que as operações matriciais sejam viáveis, A ∈ R^4x4 e B ∈ R^4x2. Da mesma forma, analisando as equações de saída:

$[1 \times 1] = C [4 \times 1] + D [2 \times 1]$

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É possível concluir que C ∈ R^1x4 e D ∈ R^1x2.

No exemplo, a seguir, apresenta-se como poderão ser calculadas as matrizes A, B, C e D do modelo em espaço de estado em um circuito linear.

Exemplo 2

Considere o circuito RC, na Figura 4, com R₁=2 Ω e C₁=3 F, em que v_i(t) é o sinal de tensão submetido na entrada do circuito e v_o(t) é o sinal de tensão sobre o capacitor, escolhido como a saída do sistema.

Figura 4 – Circuito RC.

Observe que o circuito inserido no retângulo pontilhado, na Figura 4, pode ser visto como um sistema, tendo por entrada o sinal v_i(t) e por saída o sinal v_o(t), conforme está ilustrado na Figura 5:

Figura 5 – Circuito RC visto como um sistema, com entrada v_i(t) e saída v_o(t).

Determine um modelo em espaço de estado para o circuito do sistema na Figura 5.

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RESOLUÇÃO

Como existe apenas uma malha no circuito, considere i(t) a corrente que circulará nessa malha. Como i(t) passa pelo capacitor, tem-se:

$i (t) = C_{1} \frac{d v_{o} (t)}{d t}$ (4)

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Além disso, pela Lei de Kirchhoff das tensões:

$v_{i} (t) = R_{1} i (t) + v_{o} (t)$ (5)

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Substituindo (4) em (5), obtém-se:

$v_{i} (t) = R_{1} C_{1} \frac{d v_{o} (t)}{d t} + v_{o} (t)$ (6)

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que corresponde à equação diferencial ordinária (EDO) que relaciona a variável de saída v_o(t) com a variável de entrada v_i(t). A ordem do modelo em espaço de estado equivalerá à ordem da EDO. Como a EDO é de 1ª ordem (maior grau entre as derivadas existentes), haverá apenas um estado no modelo.

Reescrevendo a equação em (6):

${\dot{v}}_{o} (t) = \frac{d v_{o} (t)}{d t} = - \frac{1}{R_{1} C_{1}} v_{o} (t ) + \frac{1}{R_{1} C_{1}} v_{i} (t)$ (7)

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Um passo importante na determinação do modelo em espaço de estado é a escolha dos sinais que serão utilizados como estados. Vamos adotar como estado a tensão sobre o capacitor, isto é, x₁(t)= v_o(t). Além disso, como existe somente um único estado x = [x₁] = [v_o]. Dado que o sistema é do tipo SISO e há apenas um estado, as dimensões das matrizes do modelo serão:

$A_{1 \times 1}; B_{1 \times 1}; C_{1 \times 1} e D_{1 \times 1}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Utilizando (7) e sabendo que x = [x₁] = [v_o], chega-se a:

$\dot{x} (t) = [- \frac{1}{R_{1} C_{1}}] x (t) + [\frac{1}{R_{1} C_{1}}] v_{i} (t)$ (8)

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Nesse exemplo, a equação de estado em (8) corresponde à equação em (4). A equação de saída é o estado x₁, portanto:

$v_{o} (t) = [1] x (t) + [0] v_{i} (t)$ (9)

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Utilizando as equações (8) e (9), determina-se o modelo em espaço de estado:

$\{\begin{cases} \dot{x} (t) = [- \frac{1}{R_{1} C_{1}}] x (t) + [\frac{1}{R_{1} C_{1}}] v_{i} (t) \\ v_{o} (t) = [1] x (t) + [0] v_{i} (t) \end{cases}$ (10)

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Finalmente, substituindo os valores de R₁ e C₁, chega-se aos valores numéricos das matrizes que definem o modelo em espaço de estado do circuito RC da Figura 4:

$A = [- 1 / 6]; B = [1 / 6]; C = [1] e D = [0] .$

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Observações:

Em circuitos lineares, a atribuição dos estados deve, preferencialmente, recair sobre as tensões dos capacitores e sobre as correntes que passam pelos indutores;
Em circuitos lineares, a ordem da EDO corresponde, normalmente, ao número de elementos reativos existentes no circuito, isto é, à soma do número de capacitores e indutores no circuito;
O número de estados do modelo em espaço de estado equivale à ordem da EDO, que relaciona o sinal de entrada com o sinal de saída.

A seguir, apresenta-se a modelagem em espaço de estado de um sistema mecânico.

Teoria na prática

Considere o sistema mecânico do tipo massa-mola, ilustrado na Figura 6. A entrada desse sistema é a força F(t) aplicada sobre o bloco de massa M e, o sinal de saída, será a posição y(t) do bloco. A superfície em que se desloca o bloco não apresenta atrito. O bloco encontra-se inicialmente em repouso.

Figura 6 – Conjunto massa-mola-amortecedor.

De forma simplificada, o conjunto mecânico massa-mola-amortecedor, na Figura 6, pode ser visto como o sistema na Figura 7:

Figura 7 – Conjunto massa-mola-amortecedor visto como um sistema.

Determine o modelo em espaço de estado para o sistema mecânico na Figura 7.

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RESOLUÇÃO

Modelando e espaço de estado

Mão na Massa

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MÓDULO 3

Calcular realizações de funções de transferência de sistemas dinâmicos

Introdução

Neste módulo, apresentaremos como poderá ser feita a realização de uma função de transferência, que significa a determinação de um modelo em espaço de estado correspondente. Além disso, também mostraremos como se calcula a função de transferência, a partir de um modelo em espaço de estado que tenha sido fornecido.

Tanto as funções de transferência como os modelos em espaço de estado são tipos de modelos que permitem representar a dinâmica de sistemas físicos. Nesse sentido, seria razoável existirem mecanismos que transformassem a função de transferência em um modelo de espaço de estado, e vice-versa.

Realização de uma função de transferência

Ocorre que, para determinado sistema, a sua representação sob a forma de função de transferência é única. O mesmo já não ocorre para as representações sob a forma de espaço de estado. Isso quer dizer que, conhecida a função de transferência, existirão diversas possibilidades para representá-la sob a forma de espaço de estado. Por outro lado, essa gama de modelos em espaço de estado, quando transformados, chegarão na mesma função de transferência.

Na Figura 8, encontra-se ilustrada a situação descrita.

Figura 8 – Modelagem de um sistema por função de transferência e em espaço de estado.

Basicamente, existem duas maneiras de obter um modelo em espaço de estado a partir da função de transferência.

A primeira pode ser por meio da utilização da transformada inversa de Laplace na função de transferência, obtendo-se a equação diferencial ordinária (EDO) da dinâmica do sistema analisado, entre as variáveis de entrada e de saída. Em seguida, utiliza-se o processo do exemplo 2, visto no módulo 2, escolhendo-se convenientemente o sinal que será atribuído a cada estado, para a determinação do modelo em espaço de estado.

Vantagem

A vantagem, nesse caminho, é que os estados apresentarão significado físico, isto é, são sinais que existirão no sistema modelado, como tensões elétricas, correntes elétricas, velocidades lineares etc.

Desvantagem

A desvantagem é que uma má escolha dos sinais que serão considerados estados poderá levar a um insucesso na obtenção do modelo em espaço de estado.

Essa primeira maneira será ilustrada no exemplo a seguir.

Exemplo 3

Considere o seguinte circuito RC:

Figura 9 – Circuito RC

Determine a FT do circuito e transforme na EDO, de maneira que o modelo em espaço de estado possa ser determinado em seguida.

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RESOLUÇÃO

Tendo em vista que se deseja encontrar a função de transferência do circuito, o circuito RC será redesenhado na Figura 10, no domínio da frequência, substituindo cada componente por sua correspondente impedância.

Figura 10 – Circuito RC no domínio da frequência.

Como se trata de um circuito simples, a função de transferência pode ser calculada diretamente por meio do divisor de tensão. Assim:

$G (s) = \frac{V_{o} (s)}{V_{i} (s)} = \frac{1 / s C_{1}}{R_{1} + 1 / s C_{1}} = \frac{1}{R_{1} C_{1} s + 1}$ (16)

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Para se obter a EDO, basta manipular a equação em (16), de modo que:

$(R_{1} C_{1} s + 1) V_{o} (s) = V_{i} (s)$ (17)

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Finalmente, aplicar a transformada inversa em (17):

$R_{1} C_{1} \frac{d v_{o} (t)}{d t} + v_{o} (t) = v_{i} (t)$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

A partir desse ponto, basta seguir a solução do exemplo 2 para obter uma realização em espaço de estado.

A segunda maneira, que é a mais usual, consiste na utilização de uma realização canônica. Segundo Ogata (2003) e Franklin, Powell e Naeini (2013), as realizações canônicas mais conhecidas são:

Observador

Observabilidade

Controlador

Controlabilidade

A transformação da função de transferência em um modelo em espaço de estado acaba sendo um processo mecânico. Os coeficientes dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência são substituídos, diretamente, em determinadas posições das matrizes do modelo em espaço de estado, levando a determinação das matrizes A, B, C e D.

Vantagem

A vantagem desse modo é que a metodologia sempre funcionará, independentemente da realização canônica escolhida.

Desvantagem

A desvantagem, entretanto, é que os estados dos modelos obtidos não possuirão significado físico, ou seja, serão apenas variáveis matemáticas que auxiliam no cálculo da resposta (sinal de saída) desses modelos.

Considere uma função de transferência no seguinte formato:

$G (s) = \frac{c_{0} s^{n} + c_{1} s^{n - 1} + \dots + c_{n}}{s^{n} + a_{1} s^{n - 1} + \dots + a_{n}}$ (18)

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Lembre-se de que a função de transferência deve ser própria para que seja realizável. Dividindo o polinômio do numerador pelo o do denominador, é possível reescrever G(s) como:

$G (s) = c_{0} + \frac{b_{1} s^{n - 1} + b_{2} s^{n - 2} + \dots + b_{n}}{s^{n} + a_{1} s^{n - 1} + \dots + a_{n}}$ (19)

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Nesse formato, é possível realizar a função de transferência em (19), substituindo seus coeficientes nas posições indicadas das matrizes A, B, C e D do modelo em espaço de estado, conforme indicado a seguir:

$\begin{array}{l} \dot{x} = [\begin{matrix} - a_{1} & 1 & 0 & \dots & 0 \\ - a_{2} & 0 & 1 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ - a_{n - 1} & 0 & 0 & \dots & 1 \\ - a_{n} & 0 & 0 & \dots & 0 \end{matrix}] x + [\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n - 1} \\ b_{n} \end{matrix}] u \\ y = [\begin{matrix} 1 & 0 & \dots & 0 \end{matrix}] \underline{x} + [c_{0}] u \end{array}$ (20)

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Essa realização é conhecida como forma canônica observador.

Observe que o valor na matriz D (transmissão direta) do modelo corresponde à razão dos termos de maior grau dos polinômios do numerador e do denominador em (18), quando estes possuem o mesmo grau. Se, na função de transferência, o grau do polinômio do numerador é menor do que o do denominador, então, D = 0.

O exemplo 4, a seguir, apresenta como poderá ser feita a realização de uma FT.

Exemplo 4

Encontre uma realização para a seguinte função de transferência:

$G (s) = \frac{2 s^{3} + 13 s^{2} + 31 s + 32}{s^{3} + 6 s^{2} + 11 s + 6}$

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RESOLUÇÃO

Reescrevendo a função de transferência, dividindo o polinômio no numerador pelo o denominador, tem-se:

$G (s) = 2 + \frac{s^{2} + 9 s + 20}{s^{3} + 6 s^{2} + 11 s + 6}$

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Assim, é possível determinar a realização canônica observador, substituindo os coeficientes da função de transferência como:

$\begin{array}{l} \underline{\dot{x}} = [\begin{matrix} - 6 & 1 & 0 \\ - 11 & 0 & 1 \\ - 6 & 0 & 0 \end{matrix}] \underline{x} + [\begin{matrix} 1 \\ 9 \\ 20 \end{matrix}] u \\ y = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}] \underline{x} + [2] u \end{array}$

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É comum ver representações gráficas de uma realização. Partindo da realização canônica observador em (20), verifica-se que a primeira equação de estado é:

${\dot{x}}_{1} = - a_{1} x_{1} + x_{2} + b_{1} u$ (21)

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que pode ser implementada por meio do diagrama em blocos na Figura 11:

Figura 11 – Implementação em diagrama da equação (21).

No diagrama, o elemento integrador corresponde à memória do modelo. Compondo analogamente as demais equações do modelo em (20), obtém-se o diagrama em blocos da realização canônica observador, conforme é indicado na Figura 12.

Figura 12 – Diagrama em blocos da realização canônica observador.

Da mesma forma que a realização canônica observador, existem outras realizações conhecidas. A seguir encontra-se a realização canônica controlador, que é a forma dual de (20):

$\begin{array}{l} \dot{x} = [\begin{array}{llcll} - a_{1} & - a_{2} & \dots & - a_{n - 1} & - a_{n} \\ 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 1 & 0 \end{array}] x + [\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] u \\ y = [\begin{matrix} b_{1} & b_{2} & \dots & b_{n} \end{matrix}] x + [c_{0}] u \end{array}$ (22)

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Note que essa última realização pode ser obtida a partir da forma canônica observador, fazendo a transposta da matriz A e alternando-se as matrizes B e C.

Ao empregar uma das formas canônicas para realizar determinada função de transferência, pressupõe-se que os polinômios do numerador e do denominador não possuam fatores em comum. Em outras palavras, se existirem raízes comuns, essas deveriam ser eliminadas antes da substituição dos coeficientes nas matrizes da realização canônica escolhida.

Comentário

Quando isso ocorre, a realização é dita mínima. Se os fatores comuns não forem eliminados, teremos uma realização não mínima, e a ordem do modelo será maior do que a necessária.

Vimos, no início deste módulo, que uma função de transferência pode ser realizada por diversos modelos em espaço de estado. Vejamos, agora, como transformar um modelo em espaço de estado numa função de transferência.

Cálculo da função de transferência a partir do modelo em espaço de estado

Considere o seguinte modelo em espaço de estado de um sistema SISO:

$\begin{matrix} \underline{\dot{x}} (t) = A \underline{x} (t) + B u (t) \\ y (t) = C \underline{x} (t) + D u (t) \end{matrix}$ (23)

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Aplicando a transformada de Laplace em (23) e fazendo as condições iniciais nulas:

$\begin{matrix} s \underline{X} (s) = A \underline{X} (s) + B U (s) \\ Y (s) = C \underline{X} (s) + D U (s) \end{matrix}$ (24)

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Manipulando a primeira equação em (24):

$\begin{matrix} (s I - A) \underline{X} (s) = B U (s) \\ \underline{X} (s) = (s I - A)^{- 1} B U (s) \end{matrix}$ (25)

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Substituindo (25) na segunda equação em (24):

$Y (s) = [C (s I - A)^{- 1} B + D] U (s)$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Finalmente:

$G (s) = \frac{Y (s)}{U (s)} = C (s I - A)^{- 1} B + D$ (26)

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O exemplo, a seguir, apresenta a aplicação da fórmula em (26) para determinar a função de transferência.

Teoria na prática

Considere o sistema massa-mola-amortecedor, com sua EDO e um modelo em espaço de estado:

$M \frac{d^{2} y (t)}{d t^{2}} + b \frac{d y (t)}{d t} + k y (t ) = F (t)$

$\underline{\dot{x}} = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ \frac{- k}{M} & \frac{- b}{M} \end{matrix}] \underline{x} + [\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{M} \end{matrix}] F (t)$

$y (t ) = [1 0] \underline{x} + [ 0 ] F (t)$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Calcule a sua função de transferência diretamente, a partir da EDO, e compare com a obtida a partir do modelo em espaço de estado.

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RESOLUÇÃO

Cálculo da função de transferência

Mão na Massa

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MÓDULO 4

Analisar a estabilidade de sistemas dinâmicos

Introdução

Neste módulo, serão apresentados os seguintes conceitos:

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BIBO estabilidade

Se refere à estabilidade externa de um sistema dinâmico, analisado a partir de sua função de transferência. Permite determinar se o sistema é estável ou instável do ponto de vista entrada-saída.

Estabilidade interna

Se refere à estabilidade interna de um sistema dinâmico, analisado a partir do modelo em espaço de estado que descreve o comportamento dos vários blocos (subsistemas) que compõem esse sistema. Permite determinar, a partir do modelo, se o sistema é estável internamente ou não.

Um sistema é considerado instável quando a sua resposta cresce indefinidamente e sem uma dependência direta com a excitação na entrada. Na prática, significa que uma das seguintes possibilidades ocorrerá com alguns dos equipamentos que compõem o sistema:

Poderão queimar, isto é, deixarão de funcionar corretamente após sofrer dano físico em algum componente ou no fusível de proteção.

Ou

Em equipamentos mais sofisticados com determinadas proteções, o sinal de saída irá saturar em determinado nível e, dependendo da situação, a operação normal não poderá ser retomada.

Além dos conceitos de estabilidade interna e externa, discutiremos também neste módulo que um sistema dinâmico apresenta infinitas realizações em espaço de estado e que o mecanismo para modificar uma realização em outra é conhecido por transformação de similaridade.

BIBO estabilidade

Nos modelos sob a forma de função de transferência (FT), é possível analisar a estabilidade por meio das posições de seus polos no plano s. Os polos de uma FT G(s) são as raízes do polinômio no denominador de G(s) ou, equivalentemente, os valores da variável complexa s que, quando substituídos na função G(s), fazem com que ela tenda para infinito.

Também é importante comentar o conceito de zero de uma FT, que são os valores da variável complexa s que, quando substituídos na função G(s), fazem com que ela tenda para zero. As raízes do polinômio do numerador serão os zeros da FT.

Exemplo 5

Suponha a seguinte FT:

$G (s) = \frac{3 s + 6}{s^{2} + 5 s + 6}$ (28)

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Determine as posições dos polos e dos zeros de G(s).

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RESOLUÇÃO

Para determinar os polos de G(s), basta calcular as raízes da equação s²+5s+6 = 0:

$s^{2} + 5 s + 6 = 0$

$(s + 2) (s + 3) = 0 \to s = p_{1} = - 2 ou s = p_{2} = - 3$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Como $G (p_{1}) = \infty$ e $G (p_{2}) = \infty$ , então p₁ e p₂ são polos de G(s).

Da mesma forma, para calcular os zeros de G(s), basta encontrar a raiz de 3s+6 = 0

$3 s + 6 = 3 (s + 1) = 0 \to s = z_{1} = - 1$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Como G(z₁) = 0, z₁ é um zero de G(s).

Observações

Para que uma FT seja realizável, em outras palavras, para que uma FT possa ser transformada em um modelo em espaço de estado, o grau do polinômio do denominador deverá ser maior ou igual ao do numerador.
O polinômio, no denominador da função de transferência, é conhecido como polinômio característico.
A ordem da FT corresponde ao grau do polinômio do denominador.
Como os polos correspondem às raízes do polinômio do denominador, o número de polos será sempre o mesmo da ordem da FT.
O número de zeros finitos pode ser menor do que o número de polos, conforme o exemplo 5 acima. Entretanto, o número de zeros é sempre o mesmo do número de polos. Observe que os zeros que estiverem faltando estarão no infinito. No exemplo 5, G(s) possui dois polos e um zero finito. O segundo zero se encontra no infinito, pois G(∞) = 0 e, dessa forma, s = z₂ = ∞ é um zero de G(s).

Visto o conceito de polos de uma função de transferência, é possível definir o conceito de BIBO (bounded input bounded output) estabilidade como:

Um sistema modelado pela FT G(s) será BIBO estável se todos os seus polos estiverem localizados no semiplano s esquerdo aberto.

Dizer que um sistema é BIBO estável significa que, quando a entrada do sistema for excitada com um sinal de amplitude limitada (finita), então o sinal de resposta sempre será limitado (finito) e, consequentemente, o sistema será estável, pois não existe uma excitação possível que produza uma resposta ilimitada.

Na Figura 13, encontra-se ilustrada a região do plano s em que todos os polos deverão estar localizados para que a FT seja BIBO estável.

Figura 13 – Região no plano s em que os polos deverão estar localizados para que o sistema seja BIBO estável.

Exemplo

Como a FT G(s) em (28) possui todos os seus polos no semiplano s esquerdo, o sistema modelado por ela será BIBO estável. Para verificar se todos os polos se encontram no semiplano s esquerdo, basta verificar que as partes reais das posições dos polos sejam todas negativas.

É importante observar que, se existir ao menos um polo da FT sobre o semiplano s direito ou sobre o eixo imaginário, o sistema modelado pela FT não mais será BIBO estável. Além disso, cabe mencionar que as posições dos zeros não influenciarão na estabilidade do sistema. Quando todos os zeros de G(s) estiverem no semiplano s esquerdo, diz-se que o sistema é de fase mínima.

Por que todos os polos devem ter parte real negativa para que a função de transferência seja BIBO estável?

Suponhamos uma função de transferência genérica, como em (19). Como Y(s) = G(s)U(s) e U(s) é também uma função racional, no final Y(s), também apresentará a mesma forma de G(s), ou seja, também será uma função racional. Logo, sempre poderá ser fatorada do seguinte modo, com m ≤ n:

$Y (s) = \frac{k_{0} (s - z_{1}) (s - z_{2}) \dots (s - z_{m})}{(s - p_{1}) (s - p_{2}) \dots (s - p_{n})}$

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Em seguida, decomposta em frações parciais como:

$Y (s ) = \frac{a_{1}}{(s - p_{1})} + \frac{a_{2}}{(s - p_{2})} + \dots + \frac{a_{n}}{(s - p_{n})}$ (29)

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Assim, ao se aplicar a transformada inversa de Laplace para determinar a resposta y(t) no tempo, nota-se que y(t) apresentará o seguinte formato, para t ≥ 0:

$y (t) = a_{1} e^{p_{1} t} + a_{2} e^{p_{2} t} + \dots + a_{n} e^{p_{n} t}$

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Consequentemente, caso a parte real de ao menos um dos polos seja positiva, fará com que y(t) cresça indefinidamente, mostrando que o sistema não será BIBO estável.

Estabilidade interna

Para tratar sobre estabilidade de modelos em espaço de estado, é importante conhecer o conceito de autovalor e autovetor de uma matriz quadrada.

Considere a seguinte equação:

$A v = λ v$ (30)

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Em que A∈R^nxn é uma matriz quadrada, v∈Rⁿum vetor não nuloe λ um escalar. Nessas condições, λ é dito um autovalor da matriz A e v um autovetor de A, associado ao autovalor λ.

Comentário

Normalmente, quando um vetor multiplica uma matriz quadrada, o resultado é outro vetor, com módulo e direção distintas do vetor inicial. O autovetor é uma direção especial da matriz, pois o vetor que resulta na multiplicação apresenta a mesma direção do inicial, possuindo apenas o módulo modificado por um fator λ, que é o autovalor.

Para calcular os autovalores de uma matriz, deve-se realizar as seguintes operações:

$λ v - A v = 0$

$(λ I - A) v = 0$

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Finalmente, como v é um vetor não nulo, para que o sistema de equações tenha solução, é necessário que:

$d e t (λ I - A) = 0$ (31)

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

O exemplo, a seguir, apresenta o cálculo dos autovalores de uma matriz.

Exemplo 6

Calcule os autovalores da seguinte matriz:

$B = [\begin{matrix} 3 & 2 \\ - 2 & 3 \end{matrix}]$

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RESOLUÇÃO

Aplicando, novamente, a fórmula em (31), obtém-se:

$d e t (λ I - B) = d e t ([\begin{matrix} λ - 3 & - 2 \\ 2 & λ - 3 \end{matrix}]) = (λ - 3) (λ - 3) + 4 = λ^{2} - 6 λ + 13 = 0$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Portanto, os autovalores da matriz B são λ₁ = +3 + j2 e λ₂ = +3 – j2.

Observações:

O número de autovalores de uma matriz é o mesmo da dimensão dela.
Os autovalores de uma matriz real podem ser números reais ou complexos. Se forem complexos, surgirão como pares conjugados.
Para determinar os autovalores, será necessário o cálculo do determinante de uma matriz e, em seguida, das raízes de uma equação. Com exceção de casos particulares, para matrizes com ordem superior a 3, esses cálculos poderão exigir a utilização de computador ou de calculadora científica.

Iniciamos este módulo tratando sobre os polos de uma função de transferência e a relação da posição deles com a estabilidade do sistema.

No entanto, qual é a relação desses assuntos com os autovalores de uma matriz?

Um modelo sob a forma de espaço de estado será assintoticamente estável, se as partes reais de todos os autovalores da matriz de estado forem negativos. Além disso, caso a realização seja mínima, todos os autovalores serão numericamente iguais aos polos da função de transferência correspondente. Note que esse fato vincula uma função de transferência com suas correspondentes realizações em espaço de estado.

O exemplo, a seguir, mostra que os autovalores de uma realização são numericamente iguais aos polos da função de transferência.

Exemplo 7

Considere a função de transferência apresentada no exemplo 5. Determine uma realização dessa função e calcule seus autovalores. Mostre que esses autovalores coincidem com os polos da função de transferência.

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RESOLUÇÃO

Por conveniência, será empregada a forma canônica controlador, apresentada em (22). Consequentemente, a realização da função de transferência em (28) será:

$\underline{\dot{x}} = [\begin{matrix} - 5 & - 6 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \underline{x} + [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] u$

$y = [\begin{matrix} 3 & 6 \end{matrix}] \underline{x} + [0] u$ (32)

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Note que, no exemplo 5, as posições dos polos foram calculadas em s₁=–2 e s₂=–3.

Para determinar os autovalores no modelo em espaço de estado, basta aplicar a fórmula em (31) e calcular as raízes da equação. Assim:

$d e t (λ [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] - [\begin{matrix} - 5 & - 6 \\ 1 & 0 \end{matrix}]) = d e t ([\begin{matrix} λ + 5 & 6 \\ - 1 & λ \end{matrix}]) = 0$

$(λ + 5) λ + 6 = λ^{2} + 5 λ + 6 = 0$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Consequentemente, λ₁ = – 2 e λ₂= – 3. Note que os autovalores da matriz de estado coincidem, numericamente, com os polos da função de transferência determinados no exemplo 5.

Transformação de similaridade

Considere o seguinte modelo sob a forma de espaço de estado, em que x_a representa o vetor de estados, u o sinal de entrada e y o sinal de saída:

$\begin{matrix} {\underline{\dot{x}}}_{a} = A {\underline{x}}_{a} + B u \\ y = C {\underline{x}}_{a} + D u \end{matrix}$ (33)

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Seja, então, T uma matriz quadrada, não singular, cuja dimensão equivale ao número de estados no vetor x_a, de modo que um novo vetor de estados x_n possa ser obtido por meio de T:

${\underline{x}}_{n} = T {\underline{x}}_{a}$ (34)

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

ou, reescrevendo (34):

${\underline{x}}_{a} = T^{ - 1} {\underline{x}}_{n}$ (35)

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Substituindo (35) na equação de estado em (33), obtém-se:

$\begin{matrix} T^{ - 1} {\underline{\dot{x}}}_{n} = A T^{ - 1} {\underline{x}}_{n} + B u \\ {\underline{\dot{x}}}_{n} = T A T^{ - 1} {\underline{x}}_{n} + T B u \end{matrix}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Finalmente, substituindo (35) na equação de saída em (33), chega-se ao seguinte modelo com o novo vetor de estado x_n:

$\begin{matrix} {\underline{\dot{x}}}_{n} = T A T^{ - 1} {\underline{x}}_{n} + T B u \\ y = C T^{ - 1} {\underline{x}}_{n} + D u \end{matrix}$ (36)

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Ora, como o modelo em (36) também relaciona a entrada u com a saída y, podemos afirmar que se trata de uma outra realização do mesmo sistema representado pelo modelo em (33), com as seguintes matrizes:

$A_{n} = T A T^{ - 1}, B_{n} = T B , C_{n} = C T^{ - 1} e D_{n} = D$ (37)

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

A mudança de realização do sistema por meio de (37) é conhecida como transformação de similaridade. Basta escolher uma matriz quadrada T, não singular, com dimensão compatível, para gerar uma nova realização para o sistema. Dessa forma, é possível concluir que uma mesma função de transferência apresenta infinitas realizações.

A seguir, ilustra-se uma aplicação da transformação de similaridade.

Teoria na prática

Considere a seguinte realização do sistema massa-mola-amortecedor:

$\underline{\dot{x}} = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ \frac{- k}{M} & \frac{- b}{M} \end{matrix}] \underline{x} + [\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{M} \end{matrix}] F (t)$

$y (t) = [1 0] \underline{x} + [ 0 ] F (t)$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

em que x₁representa a posição do bloco de massa e x₂ sua velocidade. Determine uma nova realização em que o estado x₁ seja a velocidade do bloco e o estado x₂ seja a posição do bloco.

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Conclusão

Considerações Finais

Neste Tema, você deu os primeiros passos na teoria de controle moderno, que é baseada no domínio do tempo e nos modelos em espaço de estado.

No módulo 1, foi apresentado um breve histórico sobre a evolução da área de controle, além da terminologia básica e dos conceitos mais importantes relacionados com a classificação de sistemas.

No módulo 2, foram introduzidos os modelos em espaço de estado na sua forma mais genérica, voltada para a modelagem de sistemas não lineares e, em seguida, a forma mais conhecida e utilizada, voltada para os sistemas lineares, em que o modelo é representado pelas matrizes A, B, C e D. Alguns exemplos interessantes de modelagem em espaço de estado com focos em circuitos elétricos e sistemas mecânicos foram apresentados e discutidos.

Em seguida, a essência foi o cálculo da função de transferência associada a um modelo em espaço de estado e o caminho inverso, conhecido por realização da função de transferência, em que um dos métodos mais utilizados consiste no emprego das realizações canônicas.

Finalmente, no módulo 4, o foco foi a análise de estabilidade de modelos na forma de função de transferência e em espaço de estados. Os conhecimentos apresentados neste Tema são importantíssimos na modelagem, na análise e no controle de sistemas dinâmicos, bem como para a simulação do comportamento desses sistemas em computadores digitais.

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Referências

OGATA, Katsuhiko. Engenharia de controle moderno. 4. ed. São Paulo: Pearson/Prentice Hall, 2003.

FRANKLIN, G. F.; POWELL, J. D.; NAEINI, A. E. Sistemas de controle para engenharia. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.

Explore+

Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, leia:

Engenharia de controle moderno de Katsuhiko Ogata, dos itens 3.4 até 3.8, a partir da página 58, além dos exercícios correspondentes no final do capítulo 3. O capítulo 11 também é indicado, principalmente os itens 11.1 até 11.5, a partir da página 616, bem como os exercícios relacionados aos assuntos abordados.

Sistemas de Controle para Engenharia de Franklin, Powell e Naeini, indica-se a leitura do capítulo 2, sobre modelos dinâmicos, e do capítulo 7, sobre projeto no espaço de estado, em particular os itens 7.1 até 7.4, a partir da página 356.

Conteudista

Roberto Ades

Currículo Lattes

Descrição

PROPÓSITO

Preparação

OBJETIVOS

Módulo 1

Módulo 2

Módulo 3

Módulo 4

Modelagem de Sistemas de Controle em Espaço de Estados

MÓDULO 1

Introdução

James Watt

Fonte: Wikipedia

Nicolas Minorsky

Fonte: Wikipedia

Gs=s2+3s+1s3+4s2+2s+7

Terminologia

Classificação de sistemas

a) Lineares versus não lineares

b) Contínuo versus discreto

t=kT, com k∈{... ,−1, 0, +1, ...}

Comentário

c) Dinâmicos versus instantâneos

Exemplo

d) Invariante no tempo versus variante no tempo

Exemplo

Exemplo

e) Relaxado versus não relaxado

Exemplo

f) Determinístico versus estocástico

g) Causais versus não causais

h) Número de entradas e número de saídas

Comentário

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Classificando o sistema

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MÓDULO 2

Introdução

Conceitos básicos

Estado

Variáveis de estado

Exemplo

Exemplo

Vetor de estado

x_=x1x2⋮xn

Espaço de estado

Modelo em espaço de estado

y1(t)=g1(x1,x2,…,xn,u1,u2,…,ur,t)y2(t)=g2(x1,x2,…,xn,u1,u2,…,ur,t)⋮ym(t)=gm(x1,x2,…,xn,u1,u2,…,ur,t)

x˙_(t)​=​f_(x_,​u_,​t)y_(t)​=​g_(x_,​u_,​t)

x_​t=x1(t)​x2(t)⋮​xn(t)y_​t=y1(t)y2(t)⋮ym(t)

f_x_,​u_,​t=f1(x1,​​x2,​​…​,​​xn,​​u1,​​u2,​​…​,​​ur,​​t)f2(x1,​​x2,​​…​,​​xn,​​u1,​​u2,​​…​,​​ur,​​t)⋮fn(x1,​​x2,​​…​,​​xn,​​u1,​​u2,​​…​,​​ur,​​t)

g_x_,​u_,​t=g1(x1,​​x2,​​…​,​​xn,​​u1,​​u2,​​…​,​​ur,​​t)g2(x1,​​x2,​​…​,​​xn,​​u1,​​u2,​​…​,​​ur,​​t)⋮gn(x1,​​x2,​​…​,​​xn,​​u1,​​u2,​​…​,​​ur,​​t)

x˙1=a11x1+a12x2+…+a1nxn+b11u1+…+b1rurx˙2=a21x1+a22x2+…+a2nxn+b21u1+…+b2rur⋮x˙n=an1x1+an2x2+…+annxn+bn1u1+…+bnrur(1)

y1​=​c11x1+c12x2+…+c1nxn+d11u1+…+d1rury2​=​c21x1+c22x2+…+c2nxn+d21u1+…+d2rur⋮ym​=​cm1x1+cm2x2+…+cmnxn+dm1u1+…+dmrur(2)

x˙_(t)​=​Ax_(t)+Bu_(t)y_(t)​=​Cx_(t)+Du_(t)(3)

Matrizes do modelo em espaço de estado

Exemplo 1

[4×1]=A[4×1]+B[2×1]

[1×1]=C[4×1]+D[2×1]

Exemplo 2

it=C1dvo(t)dt(4)

vi(t)=R1i(t)+vo(t) (5)

vit​=​R1C1dvo(t)dt+vot (6)

v˙ot=dvo(t)dt=​-1R1C1vot​​+1R1C1vit (7)

A1×1; B1×1; C1×1 e D1×1

x˙t=​-1R1C1xt​​+1R1C1vit(8)

vo(t)​=1x(t)​+0vi(t) (9)

x˙t​=​-1R1C1xt​​+1R1C1vitvo(t)​=1x(t)​+0vi(t) (10)

A=[-1/6]; B=[1/6]; C=[1] e D=[0].

Teoria na prática

Modelando e espaço de estado

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$G (s) = \frac{s^{2} + 3 s + 1}{s^{3} + 4 s^{2} + 2 s + 7}$

$t = k T, com k \in {..., - 1, 0, + 1, ...}$

$\underline{x} = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$

$\begin{matrix} y_{1} (t) = g_{1} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots, u_{r}, t) \\ y_{2} (t) = g_{2} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots, u_{r}, t) \\ ⋮ \\ y_{m} (t) = g_{m} (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots, u_{r}, t) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \underline{\dot{x}} (t) = \underline{f} (\underline{x}, \underline{u}, t) \\ \underline{y} (t) = \underline{g} (\underline{x}, \underline{u}, t) \end{matrix}$

$\begin{matrix} \underline{x} ( t) = [\begin{matrix} x_{1} (t) \\ x_{2} (t) \\ ⋮ \\ x_{n} (t) \end{matrix}] & \underline{y} ( t) = [\begin{matrix} y_{1} (t) \\ y_{2} (t) \\ ⋮ \\ y_{m} (t) \end{matrix}] \end{matrix}$

$\underline{f} (\underline{x}, \underline{u}, t) = [\begin{matrix} f_{1} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \\ f_{2} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \\ ⋮ \\ f_{n} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \end{matrix}]$

$\underline{g} (\underline{x}, \underline{u}, t) = [\begin{matrix} g_{1} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \\ g_{2} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \\ ⋮ \\ g_{n} (x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}, u_{1}, u_{2}, \dots , u_{r}, t) \end{matrix}]$

$\begin{matrix} \underline{\dot{x}} (t) = A \underline{x} (t) + B \underline{u} (t) \\ \underline{y} (t) = C \underline{x} (t) + D \underline{u} (t) \end{matrix}$ (3)

$[4 \times 1] = A [4 \times 1] + B [2 \times 1]$

$[1 \times 1] = C [4 \times 1] + D [2 \times 1]$

$i (t) = C_{1} \frac{d v_{o} (t)}{d t}$ (4)

$v_{i} (t) = R_{1} i (t) + v_{o} (t)$ (5)

$v_{i} (t) = R_{1} C_{1} \frac{d v_{o} (t)}{d t} + v_{o} (t)$ (6)

${\dot{v}}_{o} (t) = \frac{d v_{o} (t)}{d t} = - \frac{1}{R_{1} C_{1}} v_{o} (t ) + \frac{1}{R_{1} C_{1}} v_{i} (t)$ (7)

$A_{1 \times 1}; B_{1 \times 1}; C_{1 \times 1} e D_{1 \times 1}$

$\dot{x} (t) = [- \frac{1}{R_{1} C_{1}}] x (t) + [\frac{1}{R_{1} C_{1}}] v_{i} (t)$ (8)

$v_{o} (t) = [1] x (t) + [0] v_{i} (t)$ (9)

$\{\begin{cases} \dot{x} (t) = [- \frac{1}{R_{1} C_{1}}] x (t) + [\frac{1}{R_{1} C_{1}}] v_{i} (t) \\ v_{o} (t) = [1] x (t) + [0] v_{i} (t) \end{cases}$ (10)

$A = [- 1 / 6]; B = [1 / 6]; C = [1] e D = [0] .$

$G (s) = \frac{V_{o} (s)}{V_{i} (s)} = \frac{1 / s C_{1}}{R_{1} + 1 / s C_{1}} = \frac{1}{R_{1} C_{1} s + 1}$ (16)

$(R_{1} C_{1} s + 1) V_{o} (s) = V_{i} (s)$ (17)

$R_{1} C_{1} \frac{d v_{o} (t)}{d t} + v_{o} (t) = v_{i} (t)$

$G (s) = \frac{c_{0} s^{n} + c_{1} s^{n - 1} + \dots + c_{n}}{s^{n} + a_{1} s^{n - 1} + \dots + a_{n}}$ (18)

$G (s) = c_{0} + \frac{b_{1} s^{n - 1} + b_{2} s^{n - 2} + \dots + b_{n}}{s^{n} + a_{1} s^{n - 1} + \dots + a_{n}}$ (19)

$G (s) = \frac{2 s^{3} + 13 s^{2} + 31 s + 32}{s^{3} + 6 s^{2} + 11 s + 6}$

$G (s) = 2 + \frac{s^{2} + 9 s + 20}{s^{3} + 6 s^{2} + 11 s + 6}$

$\begin{array}{l} \underline{\dot{x}} = [\begin{matrix} - 6 & 1 & 0 \\ - 11 & 0 & 1 \\ - 6 & 0 & 0 \end{matrix}] \underline{x} + [\begin{matrix} 1 \\ 9 \\ 20 \end{matrix}] u \\ y = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \end{matrix}] \underline{x} + [2] u \end{array}$

${\dot{x}}_{1} = - a_{1} x_{1} + x_{2} + b_{1} u$ (21)

$\begin{matrix} \underline{\dot{x}} (t) = A \underline{x} (t) + B u (t) \\ y (t) = C \underline{x} (t) + D u (t) \end{matrix}$ (23)

$\begin{matrix} s \underline{X} (s) = A \underline{X} (s) + B U (s) \\ Y (s) = C \underline{X} (s) + D U (s) \end{matrix}$ (24)

$\begin{matrix} (s I - A) \underline{X} (s) = B U (s) \\ \underline{X} (s) = (s I - A)^{- 1} B U (s) \end{matrix}$ (25)

$Y (s) = [C (s I - A)^{- 1} B + D] U (s)$

$G (s) = \frac{Y (s)}{U (s)} = C (s I - A)^{- 1} B + D$ (26)

$M \frac{d^{2} y (t)}{d t^{2}} + b \frac{d y (t)}{d t} + k y (t ) = F (t)$

$\underline{\dot{x}} = [\begin{matrix} 0 & 1 \\ \frac{- k}{M} & \frac{- b}{M} \end{matrix}] \underline{x} + [\begin{matrix} 0 \\ \frac{1}{M} \end{matrix}] F (t)$

$y (t ) = [1 0] \underline{x} + [ 0 ] F (t)$

$G (s) = \frac{3 s + 6}{s^{2} + 5 s + 6}$ (28)

$s^{2} + 5 s + 6 = 0$

$(s + 2) (s + 3) = 0 \to s = p_{1} = - 2 ou s = p_{2} = - 3$

$3 s + 6 = 3 (s + 1) = 0 \to s = z_{1} = - 1$

$Y (s) = \frac{k_{0} (s - z_{1}) (s - z_{2}) \dots (s - z_{m})}{(s - p_{1}) (s - p_{2}) \dots (s - p_{n})}$

$Y (s ) = \frac{a_{1}}{(s - p_{1})} + \frac{a_{2}}{(s - p_{2})} + \dots + \frac{a_{n}}{(s - p_{n})}$ (29)

$y (t) = a_{1} e^{p_{1} t} + a_{2} e^{p_{2} t} + \dots + a_{n} e^{p_{n} t}$

$A v = λ v$ (30)

$λ v - A v = 0$

$d e t (λ I - A) = 0$ (31)

$B = [\begin{matrix} 3 & 2 \\ - 2 & 3 \end{matrix}]$

$d e t (λ I - B) = d e t ([\begin{matrix} λ - 3 & - 2 \\ 2 & λ - 3 \end{matrix}]) = (λ - 3) (λ - 3) + 4 = λ^{2} - 6 λ + 13 = 0$

$\underline{\dot{x}} = [\begin{matrix} - 5 & - 6 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \underline{x} + [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] u$

$y = [\begin{matrix} 3 & 6 \end{matrix}] \underline{x} + [0] u$ (32)

$d e t (λ [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] - [\begin{matrix} - 5 & - 6 \\ 1 & 0 \end{matrix}]) = d e t ([\begin{matrix} λ + 5 & 6 \\ - 1 & λ \end{matrix}]) = 0$

$(λ + 5) λ + 6 = λ^{2} + 5 λ + 6 = 0$

$\begin{matrix} {\underline{\dot{x}}}_{a} = A {\underline{x}}_{a} + B u \\ y = C {\underline{x}}_{a} + D u \end{matrix}$ (33)