Definição

O conceito de derivada na obtenção de retas tangentes e normais, em taxas relacionadas e em problemas de máximos e mínimos.

PROPÓSITO

Representar o conceito de derivada de uma função na determinação das equações das retas tangente e normal, na resolução de problemas de taxas relacionadas e no estudo do comportamento de funções para a obtenção de máximos e mínimos locais e globais.

Preparação

Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador.

OBJETIVOS

Módulo 1

Aplicar o conceito de derivada na obtenção das retas tangente e normal em um ponto

Módulo 2

Aplicar o conceito de derivada na obtenção das taxas de variação através de taxas relacionadas

Módulo 3

Aplicar o conceito de derivada no estudo de funções e de seus pontos extremos

Módulo 4

Aplicar o conceito de derivada na análise dos pontos críticos e nos problemas de otimização

MÓDULO 1

Aplicar o conceito de derivada na obtenção das retas tangente e normal em um ponto.

Introdução

Uma das interpretações gráficas para a derivada de uma função real é que esta representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função, em um determinado ponto. Desta forma, a aplicação da derivada de uma função real permite a obtenção da equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico, no ponto analisado.

Derivada como coeficiente angular da reta tangente

A derivada de uma função real em um ponto q do seu domínio foi definida por:

$f^{'} (q) = \lim_{x \to q} \frac{f (x) - f (q)}{x - q}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Se este limite existir e fornecer um número real, a função terá derivada no ponto q do seu domínio.

A utilização das diversas regras de derivação facilita a obtenção de uma equação analítica para a função derivada de f(x), simbolizada por f’(x).

Observe a figura 1: o quociente utilizado no limite representa a inclinação da reta secante que liga os pontos (q, f(q)) e (x, f(x)). Esta reta faz um ângulo α com o eixo positivo x. A inclinação desta reta, que na Geometria Analítica é representada pelo coeficiente angular da reta (m_s), é calculada pelo valor da tg $m_{s} = \frac{∆ y}{∆ x} = \frac{f (x) - f (q)}{x - q}$

Ao aplicarmos o limite neste quociente, o valor de x se aproximará cada vez mais do ponto q, fazendo com que a reta secante tenda cada vez mais à reta tangente ao gráfico no ponto q (figura 2).

Figura 2

Desta forma, a derivada da função em um ponto pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto analisado (figura 3). Isto é, a derivada vai valer a tangente do ângulo que a reta tangente forma com o eixo positivo x.

$f^{'} (q) = m_{t} = t g α = \lim_{x \to q} m_{s} = \lim_{x \to q} \frac{f (x) - f (q)}{x - q}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Figura 3

Equação da reta tangente ao gráfico de f(x)

A Geometria Analítica nos mostra que existem várias formas de apresentação da equação de uma reta no R², isto é, no plano definido pelos eixos x e y. Uma forma de apresentação da equação da reta será dada pela equação reduzida: $t : y - y_{0} = m (x - x_{0})$ , m real.

Este tipo de equação é obtido pelo coeficiente angular da reta e pelas coordenadas de um ponto que pertence à reta.

Neste item, deseja-se obter a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto ( q, f(q) ). Assim, este ponto de tangência, obrigatoriamente, pertence à reta.

$t : y - y_{q} = m (x - x_{q})$ , m real

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Como foi analisado no item anterior, o coeficiente angular da reta tangente é igual à derivada da função no ponto ( q , f(q) ).

Atenção

Portanto, substituindo o valor de m pela derivada se obtém a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto ( q, f(q) ): $t : y - f (q) = f' (q) (x - q)$ .

Então, se você souber o valor da função e de sua derivada no ponto q, a equação da reta tangente que passa nesse ponto poderá ser obtida.

Ressalta-se que, a obtenção da reta tangente pode ser aplicada para verificar se os gráficos de duas funções são tangentes entre si em um ponto. Este conceito se baseia na afirmação de que se os gráficos são tangentes no ponto p, assim, eles apresentam uma tangente comum que passa neste ponto.

Equação da reta normal ao gráfico de f(x)

A reta normal ao gráfico de f(x) em um ponto q é a reta ortogonal (perpendicular) à reta tangente ao gráfico neste ponto (figura 4).

Figura 4

A Geometria Analítica nos apresenta o conceito de que existe uma relação entre o coeficiente angular de duas retas ortogonais. Assim, se a reta n é ortogonal à reta t: $m_{t} . m_{n} = - 1$

Então, o coeficiente angular da reta normal é dado por $m_{n} = - \frac{1}{m_{t}}$ .

Esta relação se baseia no fato de que o ângulo que a reta normal faz com o eixo x, simbolizado no gráfico por β, vale 90° + α.

Em relação à derivada da função no ponto q, o coeficiente angular da reta normal será:

$m_{n} = - \frac{1}{m_{t}} = - \frac{1}{f' (q)}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Atenção

Assim, a equação da reta normal ao gráfico de f(x) no ponto q será definida por:

$n : y - f (q) = (- \frac{1}{f' (q)}) (x - q)$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Lembre-se de que o ponto ( q, f(q) ) pertence à reta normal. Desta forma, se você souber o valor da função e de sua derivada no ponto q, pode-se obter também a equação da reta normal que passa no ponto q.

Teoria na prática

Um avião desenvolve uma trajetória de uma parábola com uma equação dada por $h (x) = - 2 x^{2} + 8 x$ , com a altura (h) e posição horizontal (x) medidas em km. Quando o avião estiver a 3km da sua saída, ele soltará uma bomba. Esta bomba, após o lançamento, descreverá a trajetória da reta tangente na trajetória do avião. Determine a que distância do ponto de partida do avião a bomba se chocará ao solo. Considere que o solo é totalmente plano e está na mesma altura da saída do avião, isto é, h = 0.

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RESOLUÇÃO

A equação da reta tangente, que será a trajetória da bomba será dada por:

$h - h (q) = h' (q) (x - q)$ , em que ( q , f(q) ) é o ponto de lançamento da bomba.

Para $x = 3 k m \to h (3) = - 2 . 3^{2} + 8.3 = - 18 + 24 = 6 k m$

$h^{'} (x) = - 4 x + 8 \to h^{'} (3) = - 4.3 + 8 = - 4$

Portanto, a reta tangente será $h - 6 = - 4 (x - 3) \to h = - 4 x + 18$

Quando a bomba tocar o solo, $h = 0 \to - 4 x + 18 = 0 \to x = \frac{18}{4} = 4,5 k m$

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MÓDULO 2

Aplicar o conceito de derivada na obtenção das taxas de variação através de taxas relacionadas.

Introdução

Outra interpretação diz que a derivada de uma função real em um ponto representa uma taxa de variação instantânea para este valor do domínio da função. No entanto, em certos casos, não se conhece a função que relaciona diretamente as duas variáveis envolvidas no cálculo da taxa desejada. Logo, a taxa de variação deve ser calculada, de uma forma indireta, através de taxas conhecidas de outras variáveis.

Este método se baseia em definir um elo entre as duas variáveis desejadas, por meio do relacionamento de outras variáveis e, assim, através do conceito da regra da cadeia, se obter a taxa desejada. Por isso que se denomina taxa relacionada.

Taxas de Variação através da Derivada

Seja a função f(x) que determina a relação entre a variável y e a variável independente t. Para se determinar a taxa média de variação de f(x) quando a variável t varia entre dois valores, utiliza-se a equação:

Taxa Média = $\frac{∆ f (t)}{∆ t} = \frac{f (t) - f (q)}{t - q}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Esta taxa nos apresenta a proporção entre a variação da função em relação à variação do domínio, representado por t.

Atenção

A derivada de f(t) no ponto q, como já sabemos, é o limite deste quociente quando t tende ao ponto q. Assim, a derivada será o limite da taxa média quando t tende a q, que será denominada taxa de variação instantânea ou simplesmente taxa de variação.

Em outras palavras, quando t vai se aproximando do ponto q, as taxas estão sendo calculadas com períodos de variação do domínio cada vez menores. Quando t tender a q, a taxa, agora, será calculada praticamente para este instante do domínio, por isso denominada taxa instantânea no ponto q.

$f^{'} (t) = \lim_{t \to q} \frac{f (t) - f (q)}{t - q} = \lim_{t \to q} \frac{∆ f (t)}{∆ t}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Por exemplo, se a função f(t) relaciona a posição de um objeto com o tempo, a taxa média da variação de f(t) com t representa a velocidade média do objeto, e a derivada da função f(t), em relação a t, representará a taxa de variação instantânea da posição de acordo com a variação do tempo que, na Física, denominamos velocidade instantânea ou simplesmente velocidade.

Outro exemplo: se a função V(R) relaciona o volume de uma esfera com o raio, a derivada da função V(R) em um ponto R = R₀ representa a taxa de variação do volume da esfera de acordo com a variação do raio, para o instante em que o raio assumir o valor de R₀.

Por fim, um aspecto prático importante. Quando se pede uma taxa e não se define a que variável ela se refere, normalmente está se pedindo a taxa em relação à variável tempo.

Taxas Relacionadas

Em certos problemas, precisa-se estudar a variação de y em relação a uma variável t, porém não temos esta dependência direta registrada por uma função real.

Exemplo

Por exemplo, pode haver casos em que conhecemos y em função da variável x, e a variável x em função da variável t. Assim, para calcular a taxa de variação de y em relação a t, deveremos compor a taxa de y em relação a x com a taxa de x em relação a t.

Esta composição é organizada usando o conceito da regra da cadeia. Apesar do exemplo ter sido dado para apenas duas taxas, este método permite o relacionamento de diversas taxas. Essa composição entre as taxas é denominada Taxas Relacionadas.

A obtenção de uma taxa, através do método das taxas relacionadas, tem sua aplicação em nossa vida prática. Às vezes, a medição das taxas indiretas, intermediárias, são mais simples de serem obtidas do que diretamente a taxa desejada.

Exemplo

Um exemplo hipotético: às vezes, é mais fácil obter a variação do raio com o tempo do que obter diretamente a variação do volume com o tempo. Por isso, torna-se mais simples usar o método de taxas relacionadas para o cálculo da variação do volume pelo tempo, usando-se a variação do raio com o tempo e depois do volume pelo raio.

Atenção

Ressalta-se que, para a aplicação deste conceito, como já informado, não existe limitação de quantas variáveis podem ser usadas para se criar o relacionamento. O único ponto importante é que a cadeia de relacionamento deve estar completa.

Por exemplo, caso se deseje obter a taxa instantânea de uma variável y em relação a uma variável t, mas só se conheça o relacionamento de y em relação a x, de x em relação a v, de v em relação a u e, por fim, de u em relação a t. Assim, deve-se buscar um ou mais relacionamentos para se sair da variável t até se chegar à variável y.

Em outras palavras, conseguiremos fechar a cadeia se relacionarmos a taxa de y com x, do x com v, do v com u e de u com t. E obteremos a taxa relacionada, através da regra da cadeia:

$\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} . \frac{d x}{d v} . \frac{d v}{d u} . \frac{d u}{d t}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

É óbvio que conhecendo-se todas as funções poderia se obter uma função composta de forma a se obter uma função direta de y com t e depois aplicar diretamente a variável na função, como feito no primeiro item deste módulo. Mas, às vezes, a composição de funções pode ser mais complexa do que se calcular as derivadas individuais ou até mesmo, pode existir o caso em que não conhecemos uma função intermediária, mas apenas a taxa de variação correspondente.

Até aqui, usamos exemplos de taxa relacionada através de uma única cadeia, mas podem existir casos nos quais, ao se definir o elo, verifica-se a abertura de ramificações.

Exemplo

Por exemplo, deseja-se obter a taxa de variação de y em relação ao t, porém y depende de u e v e as duas variáveis dependem de t.

Também, neste caso, usaremos a regra da cadeia para calcular a taxa desejada através das taxas relacionadas, mas é necessário se observar a relação matemática entre as variáveis e usar a regra de derivação específica. Vide alguns exemplos:

a) $y = u (t) + v (t) \to \frac{d y}{d t} = \frac{d (u (t))}{d t} + \frac{d (v (t))}{d t} = u^{'} (t) \frac{d u}{d t} + v^{'} (t) \frac{d v}{d t}$

b) $y = u (t) \cdot v (t) \to \frac{d y}{d t} = \frac{d (u (t) v (t))}{d t} = {v (t) u}^{'} (t) \frac{d u}{d t} + u (t) v^{'} (t) \frac{d v}{d t}$

Teoria na prática

Um carro de corrida percorre uma trajetória retilínea através de um movimento acelerado. Sua posição, marcada a partir do ponto de partida, segue uma equação dada por s(t) = t⁴ , com s medido em metros e t em segundos para 0 ≤ t ≤ 3,5 s. Determine:

a) A taxa de variação média da posição do carro, em relação ao tempo, entre os instantes t = 0 e t = 1s;

b) A velocidade e a aceleração do carro para quando ele estiver a 81m de sua partida.

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RESOLUÇÃO

Assista ao vídeo com a solução desta questão.

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MÓDULO 3

Aplicar o conceito de derivada no estudo de funções e de seus pontos extremos.

Introdução

A primeira derivada de uma função está associada à inclinação da reta tangente ao seu gráfico, assim, pode ser relacionada ao comportamento da função em relação ao seu crescimento ou decrescimento em um determinado ponto do seu domínio.

Da mesma forma, a segunda derivada da função mede a variação da primeira derivada, podendo ser relacionada com a concavidade de uma função em um ponto.

Ao se combinar a análise de crescimento e de concavidade, pode-se obter os pontos de máximo ou mínimo local da função, denominados pontos extremos.

Este módulo analisará estes conceitos de forma detalhada.

Estudo do Crescimento de uma Função

Relembrando

Inicialmente, vamos relembrar a definição de crescimento ou decrescimento de uma função:

Uma função será classificada como estritamente crescente em um intervalo I, se:

$\forall s e t \in I, s e s < t \Rightarrow f (s) < f (t)$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Uma função será classificada como estritamente decrescente em um intervalo I, se:

$\forall s e t \in I, s e s < t \Rightarrow f (s) > f (t)$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Por outro lado:

Uma função será classificada como crescente em um intervalo I, se:

$\forall s e t \in I, s e s < t \Rightarrow f (s) \leq f (t)$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Uma função será classificada como decrescente em um intervalo I, se:

$\forall s e t \in I, s e s < t \Rightarrow f (s) \geq f (t)$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Como já visto no módulo anterior, a derivada pode ser interpretada como o coeficiente angular da reta tangente em um ponto. Assim, o sinal da derivada está diretamente relacionado ao comportamento de crescimento da função. Para se analisar este comportamento em um intervalo I, deve-se verificar o comportamento em todos os pontos de I.

Atenção

Desta forma, seja f(x) uma função contínua no intervalo I, então:

Se f'(x) > 0 para todos os pontos interiores ao intervalo I, então f(x) será estritamente crescente em I;

Se f'(x) < 0 para todos os pontos interiores ao intervalo I, então f(x) será estritamente decrescente em I;

Se f'(x) = 0 para todos os pontos interiores ao intervalo I, então f(x) é constante em I.

Exemplo

1. Determine os intervalos em que a função $f (x) = - x^{2} l n x$ , x > 0, é crescente ou decrescente.

Clique no botão para ver a resolução. Objeto com interação.

RESOLUÇÃO

Derivando a função

$f^{'} (x) = - 2 x l n l n x - x^{2} \frac{1}{x} = - 2 x l n l n x - x = - x (2 l n x + 1)$

Para se verificar o comportamento da função, deve-se analisar o sinal da derivada.

Como a função somente é definida por x > 0, a parcela – x será sempre negativa. Logo, o sinal de f’(x) será dado pelo sinal contrário à parcela $(2 l n x + 1)$ .

$f^{'} (x) > 0 \to 2 l n x + 1 < 0 \to l n x < - \frac{1}{2} \to x < e^{- \frac{1}{2}}$ f(x) estritamente crescente;

$f^{'} (x) < 0 \to 2 l n x + 1 > 0 \to l n x > - \frac{1}{2} \to x > e^{- \frac{1}{2}}$ f(x) estritamente decrescente.

Deste modo, f(x) será estritamente crescente para $0 < x < e^{- \frac{1}{2}}$ e estritamente decrescente para

$x > e^{- \frac{1}{2}}$

Estudo da Concavidade de uma Função

Uma determinada função em um intervalo I pode ter uma concavidade para cima (côncava) ou concavidade para baixo (convexa). A figura 1 apresenta um exemplo destes dois tipos de concavidade em um intervalo (a, b).

Uma função em um intervalo I tem concavidade para cima quando o gráfico de f(x) estiver sempre acima das tangentes a este gráfico. Uma função em um intervalo I tem concavidade para baixo quando o gráfico de f(x) estiver sempre abaixo das tangentes a este gráfico.

Se lembrarmos que a função derivada também é uma função, assim a derivada da função derivada, isto é, a derivada de segunda ordem de f(x) analisa o crescimento ou o decrescimento da primeira derivada em um determinado intervalo. Como consequência, será uma ferramenta para se analisar a concavidade de f(x).

Atenção

Vamos provar isto de uma forma intuitiva: Observe que no intervalo I, em que a função tem a “concavidade para cima”, a função é decrescente no início do intervalo, atinge um ponto de mínimo, e depois é crescente na segunda parte do intervalo. De forma oposta, no intervalo I, no qual a função tem a “concavidade para baixo”, a função é crescente no início do intervalo, atinge um ponto de máximo, e depois é decrescente na segunda parte do intervalo.

Complementarmente, no ponto de máximo ou no ponto de mínimo, a tangente ao gráfico será horizontal e, assim, seu valor de coeficiente angular m = 0. Portanto, nestes pontos, a derivada terá valor nulo. Este detalhe será explorado com mais profundidade em um item posterior.

Juntando os dois conceitos, conclui-se que no Intervalo com “concavidade para cima”, a derivada é negativa no início (função decrescente), depois nula (no ponto de mínimo) e depois positiva (função crescente). Logo, a função derivada será estritamente crescente. Consequentemente, a derivada da função derivada (derivada de segunda ordem de f(x): f”(x)) será positiva.

Analogamente, no intervalo com “concavidade para baixo”, a derivada é positiva no início (função crescente), depois nula (no ponto de máximo) e depois negativa (função decrescente). Portanto, a função derivada será estritamente decrescente. Consequentemente, a derivada da função derivada (derivada de segunda ordem de f(x): f”(x)) será negativa.

Resumindo

Desta forma, resumidamente, seja f(x) uma função que admite derivada de segunda ordem em um intervalo I – Teste da Concavidade:

Se f”(x) > 0 para todos os pontos interiores ao intervalo I, então f(x) terá concavidade para cima em I;

Se f”(x) < 0 para todos os pontos interiores ao intervalo I, então f(x) terá concavidade para baixo em I;

Clique na barra para ver as informações.Objeto com interação.

Ponto de Inflexão

Seja um ponto p do domínio de f(x), com f(x) contínua em p. Se a função muda de nome de concavidade antes e depois de p, diz-se que p é um ponto de inflexão de f(x).

Em outras palavras, se a concavidade na vizinhança à esquerda de p é “para baixo” e na vizinhança à direita de p é “para cima”, ou vice-versa, então p é ponto de inflexão da função. Importante: a derivada da função em um ponto de inflexão pode ser nula, pode não existir ou até mesmo ser diferente de zero, mas obrigatoriamente, a função f(x) tem que ser contínua em p.

Exemplo

2. Analise a concavidade e a existência de pontos de inflexão para a função

$f (x) = - x^{2} l n x, x > 0$

Clique no botão para ver a resolução. Objeto com interação.

RESOLUÇÃO

No exemplo anterior, foi calculada a derivada da função $f^{'} (x) = - x (2 l n x + 1)$ .

A análise da concavidade é feita através da derivada de segunda ordem:

$f^{''} (x) = (- 1) (2 l n x + 1) - x \frac{2}{x} = - 2 l n x - 3$

$f^{''} (x) > 0 \to 2 l n x + 3 < 0 \to l n x < - \frac{3}{2} \to x < e^{- \frac{3}{2}}$ : f(x) concavidade para cima;

$f'' (x) < 0 \to 2 l n x + 3 > 0 \to l n x > - \frac{3}{2} \to x > e^{- \frac{3}{2}}$ : f(x) concavidade para baixo.

Desse modo:

A função f(x) terá “concavidade para cima” para $0 < x < e^{- \frac{3}{2}}$ e a função f(x) terá “concavidade para baixo” para $x > e^{- \frac{3}{2}}$ . No ponto $x = e^{- \frac{3}{2}}$ , a função f(x) é contínua e muda de concavidade, assim, $x = e^{- \frac{3}{2}}$ é um ponto de inflexão de f(x).

Extremos Locais ou Relativos

Atenção

Seja uma função f(x) definida em domínio S tal que S ⊂ R:

A função f(x) terá um máximo relativo ou local em um ponto p de seu domínio se existir algum intervalo aberto I ⊂ S (vizinhança de p), contendo o ponto p, tal que:

$f (x) \leq f (p), \forall p \in I \cap S$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

O ponto p será denominado ponto de máximo relativo (local) de f(x) ou maximizante;

A função f(x) terá um mínimo relativo ou local em um ponto p de seu domínio se existir algum intervalo aberto I ⊂ S(vizinhança de p), contendo o ponto p, tal que

$f (x) \geq f (p), \forall p \in \forall p \in I \cap S$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

O ponto p será denominado ponto de mínimo relativo (local) de f(x) ou minimizante.

Os pontos de máximo e mínimo locais são denominados Pontos Extremos Relativos de f(x). Os pontos extremos podem ocorrer em pontos do domínio onde a função é contínua e derivável, contínua e não derivável ou até mesmo descontínua.

Para o caso do ponto extremo em um ponto contínuo e derivável, o teorema a seguir apresenta uma forma para obtê-los.

Teorema de Fermat

Seja um ponto p interior ao domínio da função f(x) que é um ponto extremo de f(x). Se a derivada de f(x) existir no ponto p, então a derivada é nula.

Atenção

O teorema só vale nesta direção. Em outras palavras, se o ponto é máximo ou mínimo local e a derivada existe, então, obrigatoriamente, ela será nula. Quer dizer, obrigatoriamente, que a tangente ao gráfico da função neste ponto será horizontal.

Na figura 2, pode ser observado que os pontos p₁ e p₂ são pontos nos quais existem extremos locais para a função f(x).

O teorema não diz que todo ponto extremo tem derivada nula, pois existem pontos que são extremos locais e não têm a derivada definida. A figura 3, abaixo, mostra um exemplo. O ponto para x = 0 é um ponto de mínimo local para a função g(x) = |x|, porém a derivada de g(x) não existe neste ponto.

Da mesma forma, o teorema não está dizendo que todo ponto com derivada nula é ponto extremo, pois existem pontos cuja derivada é nula e não são nem máximo nem mínimo locais da função.

Aqui cabe uma afirmação importante: a derivada nula só pode acontecer em três casos: máximo local, mínimo local ou ponto de inflexão. São os únicos pontos possíveis para se ter uma tangente horizontal.

Por fim, no caso em que a função é descontínua, a análise para verificar se o ponto é ou não um ponto extremo só será possível pela análise dos valores da função. Em outras palavras, não se tem, neste caso, nenhuma ferramenta para ocorrer a verificação.

Na figura 4, por exemplo, o ponto p₁ é um ponto de máximo local, pois existe uma vizinhança contendo p₁ em que todos os pontos levam a um valor de f(x) ≤ f(p₁). Da mesma forma, o ponto p₃ é um ponto de mínimo local, pois existe uma vizinhança contendo p₃, em que todos os pontos levam a um valor de f(x) ≥ f(p₃). Por fim, p₂ não é nem um ponto de mínimo local nem um ponto de máximo local.

O Teste da Primeira Derivada, como ferramenta importante, pode ser usado para analisar se qualquer ponto é ou não um ponto extremo para esta função. Mas cuidado, ele só pode ser usado nos pontos em que a função é contínua.

Atenção

Teste da Primeira Derivada

Se a derivada de f(x) mudar de positivo para negativo em p, então f(x) tem um máximo local em p. O ponto p será um maximizante para f(x).

Se a derivada de f(x) mudar de negativo para positivo em p, então f(x) tem um mínimo local em p. O ponto p será um minimizante para f(x).

Se a derivada de f(x) não mudar de sinal em p, p não é um ponto extremo local.

Por fim, cada extremidade do domínio da função sempre será um ponto extremo local dela quando for uma extremidade fechada. Na figura anterior, a função tem ponto de mínimo local para x = a, mas não tem ponto extremo para x = b.

Exemplo

Determine os pontos extremos locais da função $f (x) = - x^{2} l n x, x > 0$ , caso existam.

Clique no botão para ver a resolução. Objeto com interação.

RESOLUÇÃO

Observe que a função é contínua em todo seu domínio (x > 0). Sua derivada $f^{'} (x) = - x (2 l n x + 1)$ existe para todo domínio. Desta forma, não existe descontinuidade nem pontos onde a derivada não existe.

Pelo teorema:

f^{'} (x) = - x (2 l n x + 1) = 0 \to x = 0

(não faz parte do domínio) ou

x = e^{- \frac{1}{2}}

Assim, o ponto $x = e^{- \frac{1}{2}}$ é um ponto extremo local para f(x). No próximo item, aprenderemos como classificar este ponto através da derivada de segunda ordem.

A obtenção deste ponto extremo pode ser feita também usando o segundo método:

Como f(x) será estritamente crescente para $0 < x < e^{- \frac{1}{2}}$ e estritamente decrescente para $x > e^{- \frac{1}{2}}$ , então, em $x = e^{- \frac{1}{2}}$ existe um ponto extremo e ele é um ponto de máximo local.

Teoria na prática

Uma determinada ação de investimento tem seu valor modelado pela função $g (t) = 100 {(t - 2)}^{2} e^{t - 2}, t \geq 0$ , em que t é o tempo medido em dias a partir de um determinado dia de referência e g(t) o valor da ação no dia t. Um investidor deseja comprar as ações em um momento em que elas estiverem com um comportamento de crescimento de seu valor. Qual o período indicado para este investidor, e em que dia a função atingirá seu menor valor?

Clique no botão para ver a resolução. Objeto com interação.

RESOLUÇÃO

Assista ao vídeo com a solução desta questão.

Mão na Massa

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ATENÇÃO!

Para desbloquear o próximo módulo, é necessário que você responda corretamente a uma das seguintes questões:

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MÓDULO 4

Aplicar o conceito de derivada na análise dos pontos críticos e nos problemas de otimização.

Introdução

Ao se analisar o comportamento de uma função, existem pontos que devem ter uma atenção maior por serem pontos em que a derivada é nula ou não existe.

Como já estudado, estes pontos podem ser de máximo ou mínimos locais, ou até mesmo, em alguns casos, pontos de inflexão. Este módulo apresentará os testes que devem ser feitos para se classificar a natureza dos pontos críticos de uma função.

Outro ponto abordado é a resolução dos problemas de otimização, isto é, a busca dos pontos de uma função que a levam a ter o maior valor ou o menor valor dentro de seu domínio. Estes pontos serão denominados de máximo ou mínimo globais.

Análise dos Pontos Críticos

Seja f(x) uma função contínua em um intervalo aberto I. Um ponto p pertencente a I será um ponto crítico de f(x) se a f’(p) = 0 ou f’(p) não existir. Assim, os pontos críticos serão os pontos que devem ser analisados caso você esteja interessado em obter os pontos extremos de uma função.

Relembrando

Como visto no item anterior, os pontos em que a derivada é nula podem ser classificados em máximos locais, mínimos locais ou pontos de inflexão. Os pontos em que a derivada não existe podem ser um destes três casos, mas, também, não ter nenhuma classificação específica.

Para se classificar os pontos críticos em que a derivada não existe, deve ser feita uma análise do crescimento e decrescimento da função e de suas concavidades, raciocínio já realizado no módulo anterior. Para o caso de ser um ponto crítico com derivada nula, a classificação do ponto se dará pelo teste da segunda derivada.

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Teste da Segunda Derivada

Seja p um ponto crítico de f(x) com derivada nula, assim:

Se f”(p) > 0, então p é um ponto de mínimo local de f(x);
Se f”(p) < 0, então p é um ponto de máximo local de f(x);
Se f”(p) = 0, então nada podemos concluir.

No caso em que f’(p) = 0, deve ser feito um teste complementar. Continua a derivar e a verificar o valor da derivada no ponto p, até que se obtenha uma derivada de ordem n tal que f⁽ⁿ⁾(p)≠ 0, assim:

Se n for par e f⁽ⁿ⁾(p) > 0, então p é ponto de mínimo local de f(x);

Se n for par e f⁽ⁿ⁾(p) < 0, então p é ponto de máximo local de f(x);

Se n for ímpar, então p é ponto de inflexão de f(x).

Exemplo

1. Determine e classifique os pontos críticos da função $f (x) = {(x - 1)}^{2} e^{x}$ .

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RESOLUÇÃO

$f' (x) = 2 (x - 1) e^{x} + {(x - 1)}^{2} e^{x} = (x - 1) e^{x} (2 + x - 1) = (x - 1) e^{x} (x + 1) = (x^{2} - 1) e^{x}$

Então, os pontos críticos são x = 1 e x = – 1.

Analisando a segunda derivada: $f " (x) = 2 x e^{x} + (x^{2} - 1) e^{x}$

f " (1) = 2 e + 0 > 0 :

x = 1 ponto de mínimo local;

$f " (- 1) = - 2 e^{- 1} + 0 < 0 :$ x = – 1 ponto de máximo local;

2. Determine e classifique os pontos críticos da função f(x) = 2 x⁵, g(x) = – x⁴ e h(x) = 2x⁴.

Clique no botão para ver a resolução. Objeto com interação.

RESOLUÇÃO

a) $f' (x) = 10 x^{4} \to f' (x) = 0 p a r a x = 0$

$f " (x) = 40 x^{3} \to f'' (0) = 0$

Portanto, nada podemos afirmar pelo teste da segunda derivada. Deve-se continuar a derivar até achar a ordem da derivada diferente de zero no ponto x = 0.

$f^{(3)} (x) = 120 x^{2} \to f^{(3)} (0) = 0$

$f^{(4)} (x) = 240 x \to f^{(4)} (0) = 0$

$f^{(5)} (x) = 240 \to f^{(5)} (0) = 240$ , como a ordem da derivada é 5, ímpar, x = 0 é ponto de inflexão.

b) $b) g^{'} (x) = - 4 x^{3} \to g' (x) = 0 p a r a x = 0$

$g " (x) = - 12 x^{2} \to g'' (0) = 0$

Logo, nada podemos afirmar pelo teste da segunda derivada. Deve-se continuar a derivar até achar a ordem da derivada diferente de zero no ponto x = 0.

$g^{(3)} (x) = - 24 x \to g^{(3)} (0) = 0$

$g^{(4)} (x) = - 24 \to g^{(4)} (0) = - 24 < 0$ , como a ordem da derivada é 4, par, e g⁽⁴⁾ (0) < 0, então x = 0 é um maximizante de g(x).

c) $h^{'} (x) = 8 x^{3} \to h' (x) = 0 p a r a x = 0$

$h " (x) = 24 x^{2} \to h'' (0) = 0$

Assim, nada podemos afirmar pelo teste da segunda derivada. Deve-se continuar a derivar até achar a ordem da derivada diferente de zero no ponto x = 0.

$h^{(3)} (x) = 48 x \to h^{(3)} (0) = 0$

$h^{(4)} (x) = 48 \to h^{(4)} (0) = 48 < 0$ , como a ordem da derivada é 4, par, e h⁽⁴⁾ (0) > 0, então x = 0 é um minimizante de h(x).

Máximos e Mínimos Globais - Otimização

Em determinadas aplicações, estamos interessados em obter o valor de x que leva a função a atingir seu maior ou menor valor em todo o seu domínio. Estes pontos são denominados Extremos Globais ou Absolutos da função.

Os problemas que buscam valores máximos ou mínimos de uma função são denominados problemas de otimização.

Atenção

Seja uma função f(x) definida em um domínio S ⊂ R:

A função f(x) terá um máximo absoluto ou global em um ponto p de seu domínio se

$f (x) \leq f (p), \forall p \in S .$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

A função f(x) terá um mínimo absoluto ou global em um ponto p de seu domínio se

$f (x) \geq f (p), \forall p \in S .$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Os candidatos a serem pontos extremos globais de uma função em um domínio S serão os pontos extremos locais e as extremidades do domínio, caso existam.

É importante ressaltar que uma função pode não possuir máximos e/ou mínimos globais. Por exemplo:

a função f(x) = x , com domínio nos reais, não tem máximo e nem mínimo global;

a função f(x) = x² , com domínio nos reais, tem mínimo global no ponto x = 0, porém não tem máximo global;

a função f(x) = x + 2 , para domínio em [0, 2], tem ponto de máximo global em x = 2 e ponto de mínimo global em x = 0.

Apenas no caso de uma função contínua em domínio S fechado pode-se garantir que, obrigatoriamente, a função terá ponto de máximo e mínimo global. Funções com estas características são consideradas compactas, isto é, têm valores limitados e são definidas em um domínio fechado.

Teorema dos valores extremos ou Teorema de Weierstrass

Se f(x) for contínua em um intervalo [a,b] fechado, então f(x) assume um valor de máximo absoluto f(c) e um valor de mínimo absoluto f(d) em algum ponto c e d de [a,b].

Teoria na prática

O consumo de energia (C, em Wh) de um determinado equipamento, depende da velocidade de rotação de seu eixo principal (v, em rpm). O modelo, que relaciona as duas variáveis, é C = 4v² – 160v + 2000. O equipamento pode trabalhar com velocidade de eixo entre [10, 25]. Determine qual a velocidade que permite o menor consumo do equipamento.

Clique no botão para ver a resolução. Objeto com interação.

RESOLUÇÃO

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Mão na Massa

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Conclusão

Considerações Finais

Ao longo dos quatro módulos foi possível utilizar o conceito da derivada em diversas aplicações.

Inicialmente, aplicamos o conceito da derivada como coeficiente angular e definimos as equações das retas tangentes e normais ao gráfico de uma função.

No segundo módulo, utilizamos o conceito da derivada como taxa instantânea e obtivemos taxas relacionadas através da utilização da regra da cadeia.

Por fim, nos módulos finais, aplicamos a derivada no estudo das funções quanto ao crescimento, concavidade e obtenção de pontos extremos locais e globais e o ponto de inflexão. Desse modo, esperamos que você, a partir de agora, tenha capacidade de aplicar a derivação em diversos problemas.

CONQUISTAS

Você atingiu os seguintes objetivos:

Aplicou o conceito de derivada na obtenção das retas tangente e normal em um ponto

Aplicou o conceito de derivada na obtenção das taxas de variação através de taxas relacionadas

Aplicou o conceito de derivada no estudo de funções e de seus pontos extremos

Aplicou o conceito de derivada na análise dos pontos críticos e nos problemas de otimização

Referências

GUIDORIZZI, H. L. Cálculo, Volume 1. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 9, p. 225-282.

HALLET, H. et al. Cálculo, a uma e a várias variáveis. 5. ed. São Paulo: LTC, 2011. cap. 4, p.157-204.

LARSON, R.; EDWARDS, B. H. Cálculo, com aplicações. 6. ed. São Paulo: LTC, 2003. cap. 2, p.171-178, cap. 3, 189-232.

STEWART, J. Cálculo, Volume 1. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. cap. 3, p.255-260, cap. 4, p. 278-289 e 331-341.

THOMAS, G. B. Cálculo, Volume 1. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. cap. 4, p. 212-261.

Explore+

Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise na internet.

Conteudista

Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira

Currículo Lattes

Definição

PROPÓSITO

Preparação

OBJETIVOS

Módulo 1

Módulo 2

Módulo 3

Módulo 4

MÓDULO 1

Introdução

Derivada como coeficiente angular da reta tangente

f'q=limx→q⁡fx-fqx-q

f'q=mt=tgα=limx→q⁡ms=limx→q⁡fx-f(q)x-q

Equação da reta tangente ao gráfico de f(x)

t:y- yq= m(x-xq), m real

Atenção

Equação da reta normal ao gráfico de f(x)

mn=-1mt=-1f'(q)

Atenção

n:y- f(q)= -1f'(q)(x-q)

Teoria na prática

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MÓDULO 2

Introdução

Taxas de Variação através da Derivada

Taxa Média = ∆f(t)∆t=ft-f(q)t-q

Atenção

f't=limt→q⁡ft-f(q)t-q=limt→q⁡∆ft∆t

Taxas Relacionadas

Exemplo

Exemplo

Atenção

dydt=dydx.dxdv.dvdu.dudt

Exemplo

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MÓDULO 3

Introdução

Estudo do Crescimento de uma Função

Relembrando

∀ s e t ∈I, se s < t ⇒ fs<f(t)

∀ s e t ∈I, se s < t ⇒ fs>f(t)

∀ s e t ∈I, se s < t ⇒ fs≤f(t)

∀ s e t ∈I, se s < t ⇒ fs≥f(t)

Atenção

Exemplo

Estudo da Concavidade de uma Função

Atenção

Resumindo

Exemplo

Extremos Locais ou Relativos

Atenção

Teorema de Fermat

Atenção

Atenção

Exemplo

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MÓDULO 4

Introdução

Análise dos Pontos Críticos

Relembrando

Exemplo

Máximos e Mínimos Globais - Otimização

Atenção

Teorema dos valores extremos ou Teorema de Weierstrass

$f^{'} (q) = \lim_{x \to q} \frac{f (x) - f (q)}{x - q}$

$f^{'} (q) = m_{t} = t g α = \lim_{x \to q} m_{s} = \lim_{x \to q} \frac{f (x) - f (q)}{x - q}$

$t : y - y_{q} = m (x - x_{q})$ , m real

$m_{n} = - \frac{1}{m_{t}} = - \frac{1}{f' (q)}$

$n : y - f (q) = (- \frac{1}{f' (q)}) (x - q)$

Taxa Média = $\frac{∆ f (t)}{∆ t} = \frac{f (t) - f (q)}{t - q}$

$f^{'} (t) = \lim_{t \to q} \frac{f (t) - f (q)}{t - q} = \lim_{t \to q} \frac{∆ f (t)}{∆ t}$

$\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} . \frac{d x}{d v} . \frac{d v}{d u} . \frac{d u}{d t}$

$\forall s e t \in I, s e s < t \Rightarrow f (s) < f (t)$

$\forall s e t \in I, s e s < t \Rightarrow f (s) > f (t)$

$\forall s e t \in I, s e s < t \Rightarrow f (s) \leq f (t)$

$\forall s e t \in I, s e s < t \Rightarrow f (s) \geq f (t)$