O que é número complexo?

O número complexo é o instrumento matemático para a resolução de circuitos em corrente alternada. Ele pode ser definido como par ordenado (x, y) de números reais no plano complexo, ou seja, os números reais x e y são conhecidos como as partes real e imaginária de z, respectivamente. O conceito do número complexo ou imaginário foi criado a fim de podermos representar as raízes quadradas dos números negativos, cujos resultados não fazem parte do conjunto dos números reais.

A unidade imaginária, definida pela letra i dos números complexos na engenharia elétrica, é trocada por j, para não ser confundida com a corrente elétrica. Ela é definida como:

Portanto, podemos representar a raiz quadrada de um número negativo da seguinte maneira:

Um número complexo pode ser representado de três formas:

Podemos representar também o número complexo $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{jy}$, como $\mathrm{z}=(\mathrm{x},\mathrm{y}),$ quando estamos trabalhando no conjunto de números complexos e para simplificar.

Agora vamos ver uns exemplos:

1. Transforme o número complexo z=4+j4 em forma polar e desenhe o plano cartesiano.

Solução:

Primeiro acharemos o valor do módulo do número complexo z, que é dado pela fórmula: $\mathrm{Z}=\sqrt{({\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2)}.$

Temos então:

Agora, obtendo o valor do argumento, ângulo

Assim, obtemos a forma polar do número complexo:

e o plano cartesiano é dado por:

2. Transforme o número complexo

para a forma cartesiana e desenhe o plano cartesiano.

Solução:

Primeiro vamos calcular os valores de x e y, que podem ser encontrados pela fórmula

Temos então:

Logo, $\mathrm{x}=17,32 -\mathrm{j}10$

Módulo ou valor absoluto

O módulo ou valor absoluto de um número complexo, como já citamos, é representado pela fórmula:

Conjugado de um número complexo

O conjugado de um número complexo é definido pela fórmula:

Alguns autores apresentam

Utilizaremos esse último de agora em diante. As seguintes relações são válidas para o complexo conjugado:

A soma de um número complexo com seu conjugado é o número real 2x, e a diferença, o número imaginário 2jy. Podemos verificar isso usando as seguintes fórmulas:

A multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado resulta somente em número real, e como podemos verificar no valor ao quadrado do módulo:

Na divisão de números complexos, utiliza-se o conjugado do denominador e multiplica-se pelo numerador e denominador para obter o resultado na forma cartesiana.

Veja um exemplo:

Sendo z₁= -1+j e z₂= 2-j, obtenha o valor simplificado das seguintes equações:

1. $\overline{z_1}+\overline{z_2}$

2. $\overline{z_1}-\overline{z_2}$

3. $\frac{z_1}{z_2}$

4. $\overline{z_1}·\overline{z_2}$

Solução:

Temos o conjugado de z₁ e z₂:

1. $\overline{z_1}+\overline{z_2}=-1-j+2+j=1$

    Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

2. $\overline{z_1}-\overline{z_2}=-1-j-2-j=-3-j2$

    Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

3. $\frac{z_1}{z_2}=\frac{-1+j}{2-j}=\frac{(-1+j)(2+j)}{(2-j)(2+j)}=\frac{-2-j+j2-1}{2^2+1^2}=\frac{-3+j}{5}$

    Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

4. $\overline{z_1}·\overline{z_2}=\left(-1-j\right)\left(2+j\right)=-2-j-j2+1=-1-j3$

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Operações algébricas

A seguir, definiremos algumas operações com números complexos:

Os números complexos também seguem algumas dos números reais:

Uma fórmula que pode ser bem útil, e que é válida para os números reais e para os complexos, é a do binômio:

O que são correntes alternadas?

Os circuitos elétricos podem ser encontrados com correntes contínuas ou alternadas. As correntes alternadas, que são o interesse deste tema, variam a polaridade e o valor ao longo do tempo, e essa variação pode ocorrer de diversas formas (senoidal, quadrada, triangular etc.). Porém, a forma de onda mais importante e que será apresentada neste módulo é a senoidal.

Uma onda senoidal (ou sinal senoidal) é uma onda periódica que repete seu comportamento ao longo do eixo x. Em um circuito elétrico, podemos representar, por exemplo, a tensão senoidal nos domínios temporal e angular.

Podemos verificar pelas figuras que a senoide é sempre nula nos múltiplos inteiros positivos de π, ou seja, pra 0π, 1π, 2π, ..., ∀n ε ℤ, isso ocorre porque o valor da função seno é nula para esses valores.

A onda senoidal

A onda senoidal é produzida quando um condutor é girado em campo magnético, com velocidade constante e densidade de fluxo uniforme.

O condutor na posição 1 move paralelamente ao fluxo e não há tensão induzida nele. Quando o condutor gira da posição 1 para a 2, começa a cortar o fluxo em um pequeno ângulo; portanto, uma pequena tensão é induzida ao condutor. A corrente produzida por essa tensão é indicada pelo ponto $\left(\bullet \right)$, que significa que a corrente está na direção para fora da página.

Assim que o condutor vai girando, o ângulo no qual ele corta o fluxo vai aumentando, até que o condutor se mova perpendicularmente às linhas de fluxo (posição 4). À medida que o condutor se movimenta, menos fluxo é cortado. Quando atinge a posição 7, não há mais tensão induzida, e o primeiro semiciclo positivo da onda senoidal foi produzido.

Quando o condutor deixa a posição 7, o sentido do fluxo é invertido; assim sendo, a polaridade da tensão induzida é invertida e o semiciclo negativo se inicia. Na posição 10, temos o máximo de tensão negativa induzida no condutor. E, quando o condutor retorna à posição original (1), a tensão induzida vai para zero. Assim, o primeiro ciclo é completado e a onda senoidal produzida.

Valor de pico e valor de pico a pico

É preciso tomar cuidado, pois algumas formas de onda em circuitos eletrônicos não são simétricas. Isso quer dizer que os valores de pico positivo e negativo são distintos, portanto, para os casos em que o valor de pico for especificado, deve-se sempre indicar se ele se refere ao pico positivo ou negativo.

Período e frequência

Representação matemática da onda senoidal

A tensão senoidal pode ser representada matematicamente pelas seguintes fórmulas:

Sendo:

V_p= valor de pico ou amplitude máxima em volts (V).

ω= frequência angular em rd/s.

Θ= ângulo em rd.

Frequência angular (ou velocidade angular)

A frequência angular corresponde à variação do ângulo Θ do sinal em função do tempo.

É representada pela letra ω e pode ser encontrada pela relação Θ=ωt. Quando Θ=2π e t=T, a frequência angular é dada por $\omega =\frac{2\pi }{T}ou \omega =2\pi f.$

Segue o exemplo:

Analise o sinal senoidal da figura, indicando a tensão de pico, a tensão pico a pico, o período e a frequência do ciclo, a frequência angular e, por fim, v(t).

Solução:

Pelo gráfico, podemos extrair os seguintes dados:

• Tensão de pico: 4V
• Tensão de pico a pico: V_pp=8V
• Período: T=0,2s

Pelas relações matemáticas, temos:

• Frequência:

  $f=\frac{1}{T}=\frac{1}{\mathrm{0,2}}=5Hz$

• Frequência angular:

  $\omega =2\pi f=10\pi rd/s$

• Tensão no domínio do tempo:

  $v\left(t\right)=V_{p}sen\omega t=5sen10\pi t$

Valor eficaz ou valor RMS

O valor eficaz (ou RMS) de uma onda está relacionado com o calor dissipado em uma resistência, representando, portanto, o valor de uma tensão (ou corrente) contínua que produz a mesma dissipação de potência que a tensão (ou corrente) periódica. É representado pelas seguintes fórmulas:

Quando a forma de onda é senoidal, podemos escrever:

Portanto, a potência dissipada em um resistor é dada pela fórmula

ou, como podemos verificar, também é a potência média.

Fase inicial

Quando um circuito elétrico não inicia o seu ciclo em t=0s, temos que considerar uma fase inicial θ₀.

Assim, temos que reescrever a fórmula do domínio do tempo incluindo essa fase, obtendo então

Deve-se considerar θ₀ positivo quando o ciclo é adiantado e negativo quando é atrasado.

Acompanhe no exemplo abaixo:

Represente graficamente os sinais senoidais:

1. $v\left(t\right)=20sen\left(10k\pi t-30°\right)V$

2. $v\left(t\right)=5sen\left(2k\pi t+\pi /3\right)V$

Solução:

a)

Podemos ver que o sinal está atrasado -30° e, considerando t=0s, encontramos

b)

Podemos ver que o sinal está adiantado

Defasagem

A figura a seguir representa essa defasagem entre duas senoides e também são representadas pelas equações

Podemos verificar que a soma (ω t+Φ) indica que o sinal v₂ está adiantado de Φ em relação v₁, ou seja, o sinal v₂ se inicia antes. Caso seja uma subtração (ω t-Φ), o comportamento é invertido, ou seja, v₂ estaria atrasado em relação a v₁, portanto, se iniciaria depois.

Senoides com seno e cosseno

As senoides podem ser escritas com funções matemáticas cosseno e seno; porém, ao fazermos a análise das funções (sinais), temos que escolher uma única função.

A seguir, são apresentadas as relações trigonométricas entre as duas funções.

• $sen\left(\omega t\pm 180°\right)=-sen\left(\omega t\right)$

• $sen\left(\omega t\pm 90°\right)=\pm cos\left(\omega t\right)$

• $cos\left(\omega t\pm 180°\right)=-cos\left(\omega t\right)$

• $cos\left(\omega t\pm 90°\right)=\mp sen\left(\omega t\right)$

A partir dessas relações, podemos comparar os sinais elétricos.

Conceito de diagrama fasorial

Pela figura, podemos escrever a tensão senoidal como:

, ou seja, uma função senoidal.

Diagrama fasorial e valores instantâneos

A partir do diagrama fasorial, podemos calcular os valores instantâneos de tensão para qualquer valor de θ ou ωt.

Pelo diagrama fasorial, podemos calcular (obter) os seguintes valores instantâneos:

• $\mathrm{\theta }=0°⟹v\left(\theta \right)=V_p \mathrm{sen} 0°=0;$

• $\mathrm{\theta }=30°⟹v\left(\theta \right)=V_{p }\mathrm{sen} 30°=0,5\mathrm{Vp};$

• $\mathrm{\theta }=60°⟹v\left(\theta \right)=V_p \mathrm{sen} 60°=0,866\mathrm{Vp};$

• $\mathrm{\theta }=90°⟹v\left(\theta \right)=V_p \mathrm{sen} 90°=\mathrm{Vp};$

• E assim para quaisquer valores de θ.

Fase inicial

Consequentemente, o valor instantâneo da tensão é dado agora por:

Se o ciclo iniciar adiantado θ₀ é positivo, se o ciclo iniciar atrasado θ₀ é negativo.

Representação com números complexos

Ou seja:

Podemos representar o sinal senoidal por um número complexo, sendo a amplitude o módulo e a fase inicial o ângulo do número complexo. Podemos, então, escrever a expressão $\mathrm{v}\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{V}}_{\mathrm{p}}\mathrm{sen}\left(\mathrm{\omega t}+{\mathrm{\theta }}_0\right)$ no formato de números complexos $\mathrm{v}={\mathrm{V}}_{\mathrm{p}}\mathrm{\angle }{\mathrm{\theta }}_0={\mathrm{V}}_{\mathrm{p}}{\mathrm{cos\theta }}_0+{\mathrm{jV}}_{\mathrm{p}}{\mathrm{sen\theta }}_0$.

Adição e subtração

O método de adição e subtração das tensões, corrente e potências em formato de números complexos é o mesmo apresentado no módulo 1. Para diagrama fasorial, utiliza-se o método do paralelogramo.

Observe o exemplo abaixo:

Realize a soma dos vetores a seguir pelo diagrama fasorial e por números complexos.

Solução:

Multiplicação e divisão entre fasores

Exemplo:

Realizar a multiplicação e a divisão dos vetores a seguir por números complexos.

Solução:

Temos, então, pela forma polar:

Circuitos resistivos em corrente alternada (CA)

Quando é aplicada uma tensão alternada em uma resistência elétrica, a corrente elétrica produzida possui a mesma forma de onda, frequência e mesma fase de tensão, porém com amplitude que depende dos valores da tensão e da resistência.

Podemos verificar essa relação a seguir.

Sabe-se que

, e pela forma de onda senoidal, temos

Então,

sendo

o valor de pico da corrente.

Podemos verificar, pela representação da forma de onda da tensão e da corrente dos circuitos resistivos em CA, que a resistência elétrica não provoca nenhuma defasagem entre tensão e corrente:

A potência dissipada pela resistência elétrica é obtida pelo produto entre tensão e corrente,

ou em função da resistência

A potência de pico é, portanto, dada por

Podemos, então, representar as tensões e correntes em valores eficazes ou valores de pico.

Indutor em corrente alternada (CA)

Se aplicarmos uma tensão senoidal em um indutor ideal, a corrente senoidal ficará atrasada 90° em relação à tensão, ou seja,

A resistência de um indutor à passagem de corrente alternada é chamada de reatância indutiva, e é dada pela fórmula:

Circuito RL série

O circuito RL série nada mais é que uma indutância em série com um resistor.

A corrente que passa é a mesma para o indutor e o resistor, porém a tensão do indutor, como já vimos, v_L é defasada de 90° em relação à corrente, e a do resistor v_R está no mesmo eixo, conforme apresentado na figura a seguir.

Podemos, então, verificar que a tensão do gerador v é a soma vetorial de v_L e v_R, defasado de um ângulo ϕ.

Escrevendo sua forma polar:

Circuito RL paralelo

Neste circuito, temos a impedância equivalente dada pela fórmula:

Capacitor em corrente alternada

Quando uma tensão senoidal é aplicada a um capacitor, ao contrário do indutor, a corrente fica adiantada de 90° em relação à tensão, ou seja,

A resistência que o capacitor oferece à variação de corrente é chamada de reatância capacitiva e é dada pela fórmula:

Circuito RC série

O circuito RC série nada mais é que um capacitor em série com um resistor.

A corrente que passa é a mesma para o capacitor e o resistor; porém, a tensão do capacitor, como vimos, v_C é defasado de 90° em relação à corrente, e a do resistor v_R está no mesmo eixo, conforme apresentado na figura a seguir.

Podemos verificar que a tensão do gerador v é a soma vetorial de v_C e v_R, defasado de um ângulo ϕ.

Escrevendo sua forma polar:

Circuito RC paralelo

Neste circuito, temos a impedância equivalente dada pela fórmula:

Circuito RLC série

O circuito RLC série é composto por um resistor, um indutor e um capacitor, todos ligados em série. Como já vimos, podemos verificar no diagrama fasorial que a tensão no resistor está em fase com a corrente, a tensão do indutor está adiantada 90° e a tensão do capacitor, atrasada em 90° em relação à corrente.

A impedância equivalente do circuito RLC é obtida pela fórmula

Escrevendo sua forma polar:

Podemos classificar esse circuito em três:

Circuito RLC paralelo

Como vimos, podemos verificar no diagrama fasorial que a corrente no resistor está em fase com a tensão, a corrente do indutor está atrasada 90° e a corrente do capacitor adiantada em 90° em relação à tensão.

Neste circuito, temos que a impedância equivalente dada pela fórmula: