Introdução

Iniciaremos agora o estudo de uma ferramenta importante da estatística e conheceremos os dados com os quais vamos trabalhar. Veremos neste módulo desde os conceitos básicos — tais como classificação de variáveis — até as principais ferramentas para apresentar e sintetizar os dados, como distribuição de frequência e representações gráficas.

Análise exploratória de dados

A análise exploratória de dados é a parte da estatística responsável pelo primeiro contato com as informações. Essa técnica nos dá um indicativo de como os dados estão distribuídos. Além disso, é útil na detecção de erros, de valores extremos (outliers), na verificação de suposições relacionadas à inferência estatística, na seleção preliminar de modelos estatísticos, entre outras utilidades. Aqui veremos os principais conceitos e ferramentas para a exploração correta dos dados.

Classificação das variáveis

Variáveis são características de interesse em um estudo qualquer. Elas podem ser classificadas em:

A seguir veremos de forma resumida como as variáveis são classificadas:

Distribuições de frequência

A distribuição de frequência é uma das formas mais simples e úteis de resumir um conjunto de dados.

As classes são divisões dos valores da variável em estudo.

Elementos da distribuição de frequência

Como construir uma distribuição de frequência

Muitas vezes, a distribuição dos dados é obtida de forma que estão simplesmente dispostos em rol ou mesmo como dados brutos, ou seja, sem ordem aparente.

No intuito de melhorar a apresentação, é comum dispor os dados em uma distribuição de frequência. Desse modo, veremos a seguir alguns passos práticos para construir uma distribuição de frequência.

Exemplo

O rol a seguir representa a altura (em centímetros) de 26 jogadores de uma equipe de futebol.

160 165 166 168 170 170 172 174 175 175 175 178 180 180 182 183 185 185 187 188 188 190 191 195 198 200

Construa uma distribuição de frequência das alturas dos jogadores dessa equipe de futebol.

Representações gráficas

A seguir, veremos alguns meios de sintetizar os dados de uma forma gráfica.

Introdução

Medidas de Posição ou Tendência Central

Medidas de posição ou tendência central são medidas que visam representar os fenômenos por seus valores centrais, em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. Apresentaremos essas medidas de acordo com os conceitos vistos no módulo anterior, ou seja, considerando que os dados podem apresentar-se:

Veja a seguir as principais medidas de posição:

Média ( X ¯ )

É a medida de posição mais conhecida e mais usada na prática para verificar o comportamento central dos dados. Vejamos a definição da média considerando a forma como os dados são apresentados:

Para dados não agrupados

Quando os dados estão dispostos como dados brutos ou rol, a média é definida por:

Para dados agrupados

Quando os dados se apresentam em distribuição de frequência, a média é definida por:

Em que:

X i é ponto médio da classe i

F i é a frequência absoluta da classe i

n é tamanho do conjunto de dados ou da amostra

Mediana M d

Disposto o conjunto de dados em ordem crescente ou decrescente, a mediana é o elemento que ocupa a posição central, isto é, divide o conjunto de dados em duas partes iguais, de forma que metade dos dados está acima e a outra metade está abaixo da mediana.

Para dados não agrupados

Para o cálculo da mediana para dados não agrupados, serão levados em consideração dois fatores:

Para dados agrupados

Para o cálculo da mediana para dados agrupados, vamos seguir os seguintes passos:

Exemplo

Considerando os dados dos pesos dos recém-nascidos, determine o valor da mediana.

Vimos que para calcular a mediana é necessário obter a classe mediana. Dessa forma, para determinar quem é a classe mediana é necessário obter a frequência acumulada (Fac) para cada classe.

Seguindo os passos para o cálculo da mediana para dados agrupados, temos:

1) Determinar o elemento mediano.

Note que esse elemento mediano ocupa a décima quinta posição no conjunto de dados.

2) Determinar a classe mediana C M d , que é a classe que contém o E M d .

A classe que contém o elemento mediano é a quarta classe, visto que ela contém o décimo quinto elemento. Note ainda, que essa classe contém do décimo quarto ao décimo oitavo elemento.

3) Aplicando a fórmula, temos:

Por isso, a mediana do peso dos recém-nascidos é igual a 3,7 Kg.

A interpretação da frequência acumulada é feita da seguinte forma: note que na primeira classe, temos o primeiro e o segundo elementos do conjunto de dados, pois os dados estão em ordem crescente, conforme definição de mediana.

Na segunda classe, temos do terceiro ao sexto elemento. Na terceira classe, temos do sétimo ao décimo terceiro elemento, e assim por diante, de forma que, a última classe contém do vigésimo quarto ao trigésimo elemento.

Moda M o

É o valor mais frequente no conjunto de dados.

Para dados não agrupados

Para determinar a moda nesse caso, basta ver o valor que mais se repete no conjunto de dados.

Para dados agrupados

Nesse caso, para obter a moda, seguiremos os seguintes passos:

Exemplo

Considerando novamente os dados dos pesos dos recém-nascidos, obtenha o valor da moda.

Seguindo os passos para a determinação da moda para o caso de dados agrupados, temos:

1) Determinar a classe modal ( C M o ) que, como vimos, é a classe com maior frequência absoluta.

Veja que, nesse caso, temos duas classes com maiores frequências absolutas. Por isso, teremos duas classes modais e, assim, duas modas associadas a esse conjunto de dados.

2) Calculando as modas:

Na qual

Na qual

Note que há um caso especial, pois a segunda classe modal está na última classe e, para o cálculo de ∆ 2 , considera-se que a classe imediatamente posterior é igual a zero. O mesmo procedimento deve ser adotado quando a classe modal está na primeira classe, com a diferença que, nesse caso, para o cálculo de ∆ 1 considera-se que a classe imediatamente anterior é igual a zero.

Separatrizes

As separatrizes têm a função de dividir o conjunto de dados em certo número de partes iguais. A mediana que divide os dados em duas partes iguais é um caso particular de separatriz. No entanto, outras separatrizes têm papel de destaque na estatística, como é o caso dos quartis, decis e percentis, cujos conceitos serão vistos a seguir.

Quartil

O quartil divide o conjunto de dados em quatro partes iguais.

Q₁ = 1º quartil, representa 25% dos elementos.

Q₂ = 2º quartil, coincide com a mediana, representa 50% dos elementos.

Q₃ = 3º quartil, representa 75% dos elementos.

Q₄ = 4º quartil, representa 100% dos elementos

Exemplo

A corretora XYZ tem em seu portifólio 60 imóveis que foram distribuídos de acordo com seu valor de venda (em milhares de reais). Os dados estão representados na distribuição de frequência a seguir:

A partir de que valor estão os 25% dos imóveis mais caros dessa corretora?

Solução: Note que o problema pede para determinar o valor que divide os 25% mais caros dos 75% mais baratos, o que é equivalente a determinar o 3º quartil (Q₃). Então:

1) Determinar o elemento quartil 3.

Determinar a classe quartil 3 C Q 3 .

Observe pela frequência acumulada que a classe que contém o elemento quartil 3 é a quarta, visto que essa classe contém do ${43}^{\underset{\_}{o}}$ elemento ao ${55}^{\underset{\_}{o}}$ .

3) Aplicando a fórmula, temos:

Portanto, o valor pedido é de R$346.150,00 reais.

Decil

O Decil divide o conjunto de dados em 10 partes iguais.

O cálculo dos decis é análogo ao dos quartis. Dessa forma, os seguintes passos serão realizados:

Exemplo

Considerando o exemplo da corretora, a partir de que valor estão os 10% dos imóveis mais baratos?

Solução: Veja que o problema pede para determinar o valor que representa justamente o 10º decil. Logo:

1) Determinar o elemento decil 1.

2) Determinar a classe decil 1 C D 1 .

Veja que a classe que contém o elemento decil 1 é a segunda classe.

3) Aplicar a fórmula:

Logo, o valor pedido é R$135.300,00 reais.

Percentil

O percentil divide o conjunto de dados em 100 partes iguais.

Exemplo

Considerando o exemplo da corretora, a partir de que valor estão 1% dos imóveis mais caros?

Solução: Veja que o problema pede para determinar o valor que representa justamente o 99º percentil. Então:

1) Determinar o elemento percentil 99.

2) Determinar a classe percentil 99 C P 99 .

Veja que classe que contém o elemento percentil 99 é a quinta classe.

3) Aplicando a fórmula, temos:

Logo, o valor pedido é R$764.000,00 reais.

Introdução

A seguir veremos as medidas de dispersão ou variabilidade, as quais possuem grande utilidade, pois avaliam o grau de dispersão dos dados em torno da média. Elas servem para verificar a representatividade da média. Vamos analisar os conceitos das principais medidas de dispersão, tais como variância, desvio-padrão e coeficiente de variação.

Variância ( S 2 )

A variância e o chamado desvio-padrão são as medidas mais conhecidas, servindo de base para medir o quanto os dados estão dispersos com relação à média, ou seja, o quanto os dados estão afastados da média.

Uma forma de calcular o afastamento de cada dado da média é calcular a diferença entre o dado e a média. Mas se calcularmos todas estas diferenças e as somarmos, obteremos ZERO. Ou seja, tal soma não avalia o afastamento total...

Veja:

Então, uma forma de evitar que o cálculo do desvio TOTAL simplesmente nos conduza ao valor zero é, por exemplo, elevar ao quadrado os desvios anteriores, ANTES de somá-los!

De fato, chamamos de desvio quadrático total (DQ), ao somatório dos desvios subtrativos simples, previamente elevados ao quadrado, ou seja:

Para calcularmos um desvio quadrático médio que é a medida de dispersão de nosso interesse, chamada de VARIÂNCIA, devemos analisar duas situações:

1. Dispomos de todos os dados que temos interesse em analisar, ou seja, toda a POPULAÇÃO;
2. Os dados fornecidos correspondem apenas a uma AMOSTRA dos dados totais de interesse.

Além disso, é útil distinguir as situações em que os dados estão agrupados ou não.

O estudo mais avançado da estatística nos indica que o desvio quadrático médio da população e de uma amostra devem ser calculados como se segue:

População Variância: $S^2 =\frac{1}{n}\times \sum _1^{\mathrm{n}}{\left({\mathrm{x}}_{\mathrm{i}}-\stackrel{-}{\mathrm{x}}\right)}^2=\frac{{\sum }_1^n{\left(x_i\right)}^2 - \frac{{({\sum }_1^n{x}_i)}^2}{n}}{n}$

Amostra Variância: $S^2 =\frac{1}{\mathit{n}-1}\times \sum _1^n{\left(x_i-\stackrel{-}{x}\right)}^2=\frac{{\sum }_1^{\mathit{n}}{\left({\mathbf{x}}_{\mathbf{i}}\right)}^2\mathit{ }-\mathit{ }\frac{{({\sum }_1^{\mathit{n}}{\mathit{x}}_{\mathit{i}})}^2}{\mathit{n}}}{\mathit{n}-1}$

Observe que no caso da população, dividimos o desvio quadrático total pela própria quantidade n de objetos da população em análise.

Entretanto, no caso de analisarmos uma amostra, devemos realizar um ajuste, justificado pela estatística, e que envolve o conceito de graus de liberdade, que não é abordado neste nível de curso.

Devemos, então, neste caso, dividir o desvio quadrático total por n-1, e não por n, a quantidade de elementos da nossa amostra.

Observação

Se tivermos os dados agrupados em uma tabela de frequência, podemos escrever:

População Variância: $S^2=\sum \frac{{\left(X_i-\mu \right)}^2\times F_i}{n}$

Amostra Variância: $S^2=\sum \frac{{\left(X_i-\mu \right)}^2\times F_i}{n-1}$

Onde $\mu$ é a média do conjunto de dados e $F_i$ a frequência das amostras.

Exemplo

Considere a seguinte amostra de dados: 1, 3, 5, 7 e 9. Determine o valor da variância.

Solução: Veja que, para determinar a variância, é necessário inicialmente calcular a média dos dados.

Solução: Veja que, para calcularmos a variância, vamos precisar dos produtos X i F i e X i 2 F i . Assim, podemos utilizar a própria distribuição de frequência anterior para obter esses produtos. Daí:

Logo,

Note que essa medida tem a interpretação prejudicada, visto que eleva ao quadrado os desvios X i − X - . Esse fato faz com que a unidade da variável com que estamos trabalhando fique ao quadrado.

Desvio-padrão (S)

O desvio-padrão é simplesmente definido como a raiz quadrada da variância, pois sua unidade, então, é exatamente a unidade dos dados! Assim, fica claro porque indicamos a variância por S². Ou seja, S é o desvio-padrão da população ou da amostra.

Exemplo: Considerando o exemplo da variância para dados não agrupados, temos:

Vimos que nesse exemplo o resultado da variância foi igual a 10. Logo,

Então nesse caso, podemos dizer que a dispersão em torno da média é de 3,2. Portanto, com essa medida, é possível verificar como se concentram os dados em torno da média.

Dados agrupados

Exemplo: Considerando os dados sobre o peso (em Kg) de recém-nascidos, temos:

Interpretação: A variabilidade em torno da média de 1 kg.

Note que, apesar de o desvio-padrão ser uma boa medida da variabilidade, é uma medida absoluta, e nem sempre conseguimos ver com clareza se o seu valor reflete maior ou menor variabilidade dos dados.

Coeficiente de variação (CV%)

O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa, sendo muito útil quando temos uma quantidade expressiva de dados ou quando queremos fazer comparações entre variáveis que são medidas em diferentes amostras ou populações. Essa medida é definida por:

Em que:

S é o desvio-padrão

X - a média da amostra

Na prática, considera-se a seguinte regra para dizer se os dados são poucos ou muito dispersos:

Exemplo

Foi aplicada uma prova de conhecimentos gerais em duas turmas, digamos A e B. A turma A obteve média 8 e desvio-padrão 2, a turma B obteve média 6,5 e desvio-padrão 1,8. Qual turma teve maior dispersão em torno da média?

Solução: Aparentemente, a turma que teve maior dispersão foi a A, pois tem desvio-padrão igual a 2, enquanto a turma B teve desvio-padrão igual a 1,8. Porém, para sabermos de fato qual turma teve maior variabilidade, temos que calcular o coeficiente de variação. Assim:

Portanto, a turma B teve maior dispersão do que a turma A. Note que ambas as turmas apresentam dispersão moderada.