Introdução

Em muitas pesquisas, há um interesse em se criar estratos de seleção, o que chamamos de estratificação. Depois de criados esses estratos, podemos selecionar amostras de cada um desses grupos, o que irá constituir nossa amostragem estratificada.

Este módulo analisará os tipos de seleção por amostragem aleatória estratificada. Veremos quais as vantagens em fazer uma estratificação na amostra e como realizá-la. Em seguida, faremos a estimação de quantidades de interesse a partir de amostras selecionadas após a estratificação. Outro aspecto importante que estudaremos é como realizar a alocação, ou seja, a distribuição da amostra nos estratos. Você vai perceber como é útil estratificar uma amostra antes de se realizar uma amostragem.

Por fim, apresentaremos o estimador baseado numa amostragem estratificada por variáveis de proporção, pois muitas vezes a natureza do estudo é qualitativa e variáveis do tipo proporção são necessárias.

Conceitos sobre amostragem estratificada

Geralmente, no mundo real, as populações encontradas são heterogêneas, isto é, há grande variabilidade entre as suas unidades em relação à média de uma variável X, por exemplo. Diante de situações em que se tem populações heterogêneas, a aplicação da amostragem aleatória simples pode acarretar em um tamanho de amostra elevado, tornando irrealizável a pesquisa pelo aumento do custo.

É muito comum que alguns objetivos de pesquisa queiram o conhecimento de características de partes ou subconjuntos das populações, por exemplo: Classificações, regionalização, divisões administrativas em situação urbana e rural etc. Nessas situações cada subconjunto da população também é tratado como estrato.

Exemplo real de pesquisa utilizando a estratificação

Na prática não utilizamos apenas uma forma de estratificação, podemos ter estratos naturais e de tamanho ao mesmo tempo. É muito comum utilizarmos essas definições conjuntas para aumentar ainda mais a qualidade da pesquisa.

Um exemplo interessante sobre isso é a pesquisa anual de serviços (PAS) do IBGE. De acordo com as notas técnicas da PAS em 2017, O objetivo contemplado no desenho da amostra foi a obtenção de estimativas dos totais populacionais referentes às variáveis investigadas de empresas de serviços, por Unidades da Federação e segundo os níveis de classificação de atividades definidos previamente. Além disso, a amostra da PAS é composta por dois tipos de estratos: Natural e final.

O natural é composto da combinação de Unidade de Federação e atividade econômica para cada uma das empresas. Depois que o estrato natural é construído, passa-se para o estrato de tamanho (estrato definido pelos estatísticos). Nesse caso, a distribuição das empresas em cada um desses estratos é dada pela quantidade de funcionários das empresas. Os estratos são definidos de acordo com o tamanho da empresa, empresas no estrato A1 (0 a 4 funcionários), estrato A2 (5 a 9 funcionários), estrato A3 (10 a 19 funcionários) e outro estrato com as empresas maiores, de 20 funcionários.

Na pesquisa da PAS teremos inicialmente os estratos naturais sendo os estados do Brasil e depois os estratos de tamanho de acordo com o porte da empresa (número de funcionários). Primeiramente, selecionam-se empresas em cada estrato natural (estado) e depois selecionam-se as empresas de acordo com o seu estrato de tamanho. É uma ótima forma de garantir representatividade por unidade da federação e por porte da empresa.

Vantagens da amostragem estratificada

A criação ou a utilização de estratos naturais já existentes traz uma série de vantagens na seleção amostral e, consequentemente, na divulgação dos resultados. Em relação aos aspectos positivos, podemos destacar:

Desvantagens da amostragem estratificada

Nem tudo são flores, então não temos apenas pontos positivos na amostragem estratificada. Alguns autores não chamam nem de desvantagens da AE, preferem chamar de requisitos básicos para a realização desse tipo de seleção amostral. Entre os principais requisitos, temos:

Requer conhecimento das variáveis de estratificação para todas as unidades do cadastro antes da amostragem.

Na pesquisa da PAS, cada empresa terá uma variável de unidade da federação, atividade econômica e quantidade de funcionários preenchida. Assim, primeiro se usa a variável de estrato da unidade da federação e atividade econômica para selecionar as empresas que farão parte da amostra e depois a quantidade de funcionários para distribuir essa amostra nos estratos.

Dividir a população em muitos estratos pode levar à existência de amostras muito pequenas em cada estrato.

Razões para estratificar

Há vários fatores importantes para se fazer a estratificação, entre os quais podemos enumerar:

1 - O desejo de aumentar a precisão das estimativas globais, dado que a variabilidade da característica de interesse pode ser grande. Essa melhora da precisão das estimativas pode ser feita reduzindo a variância dos estimadores após a construção dos estratos.

2- Garantir a divulgação das informações para cada domínio de interesse, ou seja, podemos obter estimativas para diversos segmentos da população. Assim, podemos fixar a precisão para cada estrato, e ter um melhor controle sobre os erros existentes.

3- Os estratos formam grupos naturais que podem ser de interesse. Pessoas que moram num determinado bairro podem ter hábitos de vida muito diferentes de outros bairros. Dessa forma, já existem naturalmente estratos que podem ser objetos de estudo.

4- Pode-se replicar na amostra a mesma composição da população de acordo com algumas características. Se soubermos que a população é formada por 52% de mulheres e 48% de homens e, além disso, temos 10% com nível superior, 50% com nível médio e 40% com nível fundamental, podemos criar uma amostra exatamente com essa mesma distribuição. A amostra será, então, criada de forma proporcional às variáveis na população.

5- Espalhar a amostra sobre a população. Como todos os estratos devem ter amostras selecionadas, esse processo de estratificação automaticamente espalha a amostra em cada um desses grupos amostrais.

Critério de eficiência

Para conseguir ganhar eficiência com o uso da estratificação, a ideia é tornar os valores da(s) variável(is) de estudo dentro de cada estrato os mais similares/homogêneos possíveis, isto é, minimizar a variância dentro dos estratos. A ideia da estratificação é, então, de criar estratos que sejam mais homogêneos entre si, ou seja, espera-se que dentro de cada estrato as populações ali existentes sejam semelhantes. Isso faz com que a variância dentro dos estratos seja menor enquanto a variância entre os estratos seja maior.

Método geral

Primeiramente, deve-se particionar a população U em H subconjuntos mutuamente exclusivos e exaustivos chamados estratos. Dois eventos são chamados de mutuamente exclusivos quando eles não podem ocorrer ao mesmo tempo. Ao jogar uma moeda, os eventos podem ser cara ou coroa, mas nunca os dois simultaneamente. Já o termo exaustivo diz respeito ao fato de todas as categorias terem que ser contempladas com pelo menos uma unidade amostral.

Assim, as amostras têm que estar em apenas um estrato e todos os estratos devem ser contemplados com alguma amostra. Em notação matemática, temos a representação de cada estrato denotada por $U_h$, assim temos $U_1,\dots ,U_h,\dots ,U_H$, de modo que $U=U_1\cup U_2\cup$... $\cup U_H={\cup }_{h=1}^H{U}_h$ e $U_h\cap U_k=\varnothing ,h\ne k$. Seja $N_h$ o tamanho de $U_h$, então $N_1+N_2+\cdots +N_h=N$.

Após estarem definidos os estratos populacionais, podemos selecionar uma amostra $s_h$ de tamanho $n_h$, com $n_h>0$, segundo uma seleção amostral independente dentro de cada estrato h, onde $h=1,2,\dots ,H$ e ${\sum }_{h=1}^H n_h=n$. Assim, fica assegurado que cada estrato terá sua população representada na amostra final, pois $s=s_1\cup s_2\cup \dots \cup s_H$.

Introdução

No módulo anterior, vimos todos os conceitos relacionados à amostragem estratificada, suas vantagens e desvantagens e quais os motivos para fazer a estratificação.

A partir deste módulo, vamos aprender como fazer estimações de variáveis de interesse e alocações de amostra utilizando a estratificação. Primeiramente, veremos o conceito de peso amostral, as notações e definições básicas e, logo em seguida, utilizaremos todas as expressões matemáticas para fazer as estimações na teoria da amostragem. Por fim, veremos como distribuir a amostra selecionada nos estratos de acordo com diferentes tipos de alocação amostral.

Temos agora um valor médio por estrato, isso já é um resultado bem interessante e que faz bem mais sentido que aquele resultado anterior obtido. Mas, e se quisermos uma média geral, como devemos proceder?

Portanto, a média geral é feita levando em consideração a estratificação. Esse é o valor correto para a média geral, e não aquele anterior, ignorando todos os estratos. O que estamos fazendo aqui é levar em consideração a participação (no cálculo da média) do tamanho de cada estrato populacional. Ou seja, se sabemos que existem mais pessoas de nível fundamental, temos que dar maior "peso" a essa resposta.

Esse fator que utilizamos de $\frac{N_h}{N}$ nos dá exatamente essa ideia de peso amostral, ou seja, é uma ponderação correspondente à fração de elementos existentes na população em relação ao total N. Essa fração amostral é muito utilizada na prática e chamada de $W_h$, logo, toda vez que precisarmos considerar o tamanho de algum estrato em relação ao total, faremos a divisão do seu total pelo total geral e chamaremos o resultado de $W_h$.

Notação básica e estimação

A amostragem estratificada utiliza de muitas variáveis na construção das expressões usadas no processo de estimação. Para a população, chamamos essas variáveis de interesse de parâmetros. Nosso objetivo, então, é conseguir estimar esses parâmetros populacionais através da amostra. Para identificar as unidades, usaremos a seguinte notação:

• Um identificador h (h = 1, ... , H) para indicar o estrato a que pertence.
• Um identificador i (i = 1, ... , $N_h$) para indicar a unidade dentro do estrato.
• O valor de alguma variável da pesquisa chamamos de $y_{hi}$, para i = 1,..$N_h$. , e h = 1,...,H.
• Os tamanhos populacionais são dados por: $N_1$ + $N_2$ + ... $N_h=N$.
• Os tamanhos amostrais são dados por: $n_1$ + $n_2$ + ... $n_h=n$.

Encontrando o erro padrão, temos ${\widehat{E}}_p\left({\widehat{y}}_{est}\right)=\sqrt{{\widehat{v}(\widehat{y}}_{est})}\cong \mathrm{1,18}$. Ou seja, o erro médio da estimativa é um pouco mais de 1 hora por dia de uso da internet.

Alocação da amostra

Vimos até o momento como realizar o procedimento de estimação de acordo com uma amostra que já havia sido definida para os estratos. Agora, vamos entender como é feita a distribuição das n unidades da amostra pelos estratos. Esse processo chama-se alocação da amostra e é bem importante, pois garante a precisão do procedimento amostral.

Temos três principais formas de distribuir a amostra através dos estratos. Essa alocação é feita, em geral, a partir do conhecimento dos pesquisadores ou do conhecimento prévio das variáveis envolvidas. Assim, temos:

Alocação uniforme

Na amostragem estratificada uniforme, temos o mesmo tamanho de amostra para cada estrato. É a alocação mais simples e básica e, apesar de ser a mais intuitiva, pode não ser a melhor escolha em termos de eficiência.

Simplesmente divide-se o total da amostra pela quantidade de estratos.

Alocação proporcional

Outra forma de fazer a distribuição é pelo critério que mantém a fração da amostragem em cada estrato h igual à fração populacional. Ou seja, nesse tipo de alocação, a amostra previamente definida de tamanho n é distribuída proporcionalmente ao tamanho dos estratos.

Dessa forma, com a alocação proporcional e arredondando os valores para cima, teremos n= 91 famílias com 66 do estrato 1 (urbano) e 25 do estrato 2 (rural). Basicamente, replicamos a estrutura populacional na amostra.

Onde n representa o tamanho da amostra, $s_h$ representa o desvio padrão da variável y no estrato h e $N_h$ representa o tamanho do estrato h.

Perceba nesse caso como a distribuição da amostra não segue o padrão populacional. Isso ocorreu porque a variabilidade dos indivíduos vermelhos era maior que a dos azuis. Assim, precisamos de uma amostra maior vermelha do que azul. Dessa forma, a estrutura da amostra leva em consideração não apenas o tamanho populacional como também sua variabilidade. Vamos ver um exemplo:

Introdução

Vimos no módulo anterior como estimar quantidades de interesse em uma pesquisa, totais e médias, por exemplo, no caso da amostragem estratificada simples. Além disso, vimos como estimar a variância e o erro padrão para essas estimativas. Em seguida, entendemos como fazer a alocação da amostra em cada um dos estratos de acordo com a escolha entre uniforme, proporcional ou Neyman.

Agora, veremos como dimensionar o tamanho da amostra para o plano amostral da amostragem estratificada. Além disso, veremos também como fazer as estimações para variáveis do tipo proporção, nas quais o interesse é estudar a ocorrência de alguma característica da população.

Estimação de proporções na amostragem estratificada

Além de variáveis quantitativas, uma pesquisa também pode conter variáveis qualitativas. O tratamento relativo à estimação dos dados e o cálculo do tamanho amostral são feitos de forma diferente. Às vezes, deseja-se estimar a proporção ou a percentagem de unidades da população que possuem certa característica e atributo ou que se integram em determinada categoria. Muitos dos resultados dos censos e levantamentos assumem essa forma, como, por exemplo, a proporção de pessoas que pegaram empréstimo no banco, a percentagem da população constituída de estrangeiros etc.

Na amostragem estratificada, teremos que fazer a soma de y_i em cada um dos estratos que foram construídos. Se quisermos estimar a proporção de unidades na população que se enquadram em alguma classe C definida, a estratificação ideal seria aquela em que no primeiro estrato estivessem todos ou a maioria dos indivíduos com aquela característica, e no outro estrato, os indivíduos que não apresentam essa mesma característica (ou apresentam pouca).

Como podemos estimar de forma independente em cada estrato, seria muito interessante ter estratos bem diferenciados no que diz respeito à nossa variável de interesse. Para efeitos práticos você conseguiria os melhores resultados caso fizesse isso, porque seria possível estimar em cada estrato (um com a característica e outro sem) e depois fazer comparações. Por isso, dizemos que a etapa da construção dos estratos é um ponto fundamental da pesquisa, que pode afetar a eficácia dos resultados.

Com os valores $y_i$ de uma amostra em cada um dos estratos h podemos estimar a proporção populacional, a variância da proporção e seu erro padrão através da amostragem estratificada simples sem reposição, da seguinte forma:

Pelas expressões acima, você pode ver que a proporção comporta-se como se fosse uma média ponderada, levando em consideração o peso de cada estrato na população, só que ao invés de somar os valores das variáveis, somam-se os $y_i=1$ para cada estrato e indivíduo e depois divide-se pelo total.

Vamos ver um exemplo de estimação da proporção para entendermos como isso acontece na prática.

Tamanho da amostra

No planejamento de uma pesquisa, o cálculo do tamanho de amostra é uma etapa muito importante. Um desenho amostral com uma quantidade de respondentes muito grande pode implicar em desperdício de recursos, enquanto uma amostra muito pequena pode diminuir a qualidade dos resultados. A decisão nem sempre pode ser feita de forma satisfatória e é preciso tomar decisões baseado no orçamento disponível e na qualidade que se deseja.

O método mais básico de seleção de amostragem é a aleatória simples (AAS). Nesse plano amostral, todas as unidades amostrais têm a mesma probabilidade de serem selecionadas. Já na amostragem estratificada, esse valor é alterado de acordo com o estrato de origem da unidade. Se formos retirar a mesma quantidade de amostra em cada um dos estratos por AAS, é natural que estratos maiores tenham unidades de seleção com probabilidade menor de serem selecionadas e estratos pequenos tenham unidades com probabilidade maior, pois sua população é menor. Esse peso da amostra é uma variável importante e precisa ser levado em consideração no momento de se realizar os cálculos de tamanhos amostrais.

Vamos ver então como calcular o tamanho da amostra baseado em médias, totais e proporções e suas diferentes alocações.

onde $W_h=\frac{N_h}{N}$ e $a_h$ é uma constante que define o tipo de alocação utilizado. Porém, não utilizaremos simplesmente a fórmula acima, pois ao fazer as alocações na amostra, podemos já encontrar as expressões específicas para cada caso. Assim, as fórmulas mudam de acordo com a alocação escolhida. Vamos tratar aqui das duas distribuições amostrais mais utilizadas, que é o caso da proporcional e da ótima de Neyman.

Ou seja, neste caso, primeiramente calculamos $n_0$ e depois calculamos n. Poderíamos fazer a substituição e ter apenas uma fórmula, mas de acordo com Cochran (1977), fazer essa separação traz ganhos em termos computacionais.

Vamos ver um exemplo prático para entender como o tamanho amostral seria calculado nesse caso.

Onde $W_h=\frac{N_h}{N}$ e $a_h$ é uma constante que define o tipo de alocação utilizado. Porém, não utilizaremos simplesmente a fórmula acima, pois ao fazer as alocações na amostra, podemos já encontrar as expressões específicas para cada caso. Assim, as fórmulas mudam de acordo com a alocação escolhida. Vamos tratar novamente aqui das duas distribuições amostrais mais utilizadas, que é o caso da proporcional e da ótima de Neyman e a variância V é dada por: $V= {\left({\frac{d}{z}}_{\raisebox{1ex}{$\alpha $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\right)}^2$

Tamanho de amostra para estimação da proporção

Se o interesse da pesquisa for responder a questões qualitativas, deve-se pensar no cálculo amostral utilizando a proporção. As fórmulas são semelhantes aos casos anteriores, em que devemos apenas substituir as variáveis de média ou total por variáveis de proporção. Essas expressões também variam conforme a alocação da amostra foi pensada no momento da construção da pesquisa.

Onde V é a variância mínima desejada para estimar a proporção da população. Essa variância está em função da margem de erro "d" e do valor z da tabela normal. Caso não seja dada, pode ser calculada por $V= {\left({\frac{d}{z}}_{\raisebox{1ex}{$\alpha $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}\right)}^2$

Novamente, as fórmulas de n e n0  poderiam ter sido colocadas juntas. Isso só não foi feito porque em termos computacionais é mais eficiente trabalhar com elas separadamente.