NATUREZA ONDULATÓRIA DA LUZ

O grande sucesso do telescópio refrativo de Galileu, em 1609, deu início a uma nova fase no estudo da luz. Desde o início, foram observados alguns fenômenos que não podiam ser compreendidos pela óptica geométrica. No modelo de propagação retilínea da luz, um obstáculo deveria proporcionar uma região de sombra de contornos nítidos.

A projeção dessa sombra em uma parede, pelas previsões do modelo geométrico, seria caracterizada por uma região escura claramente separada da região iluminada pela fonte luminosa. É claro que, para isso, deveríamos levar em consideração a região de penumbra, causada pelo tamanho físico da fonte de luz, e que deveria ser a menor possível para se fazer uma observação apurada.

As primeiras experiências logo mostraram a existência de faixas claras, onde devia haver sombra; e, de faixas escuras, onde devia estar bem iluminado. A imagem a seguir, ilustra:

• Uma montagem experimental para observação no orifício 2 , em a).
• Em b), a imagem observada no anteparo.

Para explicar o desvio da luz de sua trajetória retilínea, Grimaldi recorreu à experiência comum relativa à propagação das ondas sonoras ou das ondas sobre a superfície da água, como na imagem ao lado. O som não pode ser barrado por um muro não muito alto, mesmo que seja muito espesso, pois as ondas sonoras ao passarem por cima dele se desviam parcialmente em direção ao solo, contornando-o.

Christiaan Huygens (1629-1695), filho de um importante oficial do governo holandês, já possuía uma grande reputação científica em 1678, com seus trabalhos em Astronomia e Física. Nesse ano, Huygens propôs uma teoria ondulatória para a luz.

Como a natureza própria da luz era totalmente desconhecida, Huygens interpretava a luz em termos de ondas longitudinais, como:

No modelo de Huygens, cada ponto em uma frente de onda é tratado como uma fonte de uma onda esférica denominada ondícula secundária ou ondícula de Huygens. O envoltório dessas ondículas, em um instante posterior, é determinado pela tangente a essas superfícies. O envoltório é assumido como a nova posição da frente de onda.

Uma onda é caracterizada pelo seu comprimento de onda $\lambda$ que pode ser visualizado pela distância entre duas cristas da onda e pela frequência $\nu$ de suas oscilações, como na imagem a seguir. Essas duas grandezas são relacionadas através da velocidade v de propagação da onda na forma:

O fenômeno da difração pode ser mais bem observado quando as dimensões do obstáculo são comparáveis com o comprimento de onda, como mostra a etapa a) da imagem. Para obstáculos ou orifício de dimensões muito superiores aos do comprimento de onda, os efeitos de difração ficam restritos a uma faixa estreita, nos contornos da sombra e, comumente, misturados com a região da penumbra. A b) mostra uma situação em que a propagação de uma onda segue o modelo da óptica geométrica.

Isaac Newton (1642-1727) também havia se interessado pelo fenômeno da luz, tendo realizado, no período de 1665 a 1666, surpreendentes experiências no campo da óptica, como a decomposição da luz branca através de um prisma.

Contudo, sua abordagem ao problema refletia as ideias contidas em seu trabalho sobre a gravitação, desenvolvido nesse mesmo período. Newton tinha em mente o modelo corpuscular que explicava de forma satisfatória a óptica geométrica. A possibilidade de propagação retilínea de uma onda só viria a ser formalmente demonstrada mais de um século depois, por Augustin Jean Fresnel (1788-1827).

Newton repetiu muitos dos experimentos de Grimaldi, mas deixou-os de lado quando percebeu que não podia explicar suas observações em termos do modelo corpuscular.

Se, por um lado, Newton não podia explicar as franjas de difração observadas por Grimaldi, por outro, o modelo ondulatório de Huygens não era completo o suficiente para demonstrar, de forma cabal, a propagação retilínea da luz. Nem ao menos eram conhecidos os valores aproximados dos comprimentos de onda associados ao espectro luminoso.

Alguns outros fenômenos também eram facilmente explicáveis pela teoria ondulatória, como a birrefringência. Na época, era difícil conceber a existência de ondas transversais, como se pode ver na primeira imagem (a), descritas por duas polarizações cruzadas e que possibilitam a existência de dois índices de refração em alguns cristais. Naquele tempo, todas as ondas eram compreendidas como sendo longitudinais, como na segunda imagem (b), tais como as ondas sonoras.

As duas teorias ofereciam, contudo, previsões antagônicas quanto à velocidade dentro da matéria.

Para se chegar a alguma conclusão sobre a natureza da luz era necessário vencer duas etapas:

A primeira etapa tinha como obstáculo o enorme peso científico do legado de Newton. Da mesma forma que a admiração por Sócrates havia canalizado o intelecto da Antiguidade para a filosofia moral, a influência de Newton sobre as gerações seguintes fez com que poucos se atrevessem a contestá-lo nos cem anos que se seguiram à sua morte.

A segunda etapa implicava em um avanço tecnológico que propiciasse aos cientistas uma instrumentação adequada para medir a velocidade da luz. Isso só aconteceu em 1850, quando, finalmente, Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868) mediu a velocidade da luz no ar e na água, mostrando que a velocidade na água era menor do que no ar (RICARDO B., 2005).

MEDIDA DA VELOCIDADE DA LUZ

Para termos uma ideia mais clara da dificuldade de se medir a velocidade da luz, é necessário analisar algumas ordens de grandeza envolvidas.

A letra c foi designada para representar a velocidade da luz no vácuo. A origem da palavra vem de celeridade (rapidez), utilizada no passado para caracterizar a velocidade de propagação de uma onda.

Para compreender o quanto a luz é veloz, podemos fazer a seguinte comparação:

Galileu duvidava que a velocidade da luz fosse infinita e planejou um experimento para medir essa velocidade, cobrindo e descobrindo, manualmente, lanternas separadas por duas colinas.

Embora a ideia fosse boa, como o tempo mínimo de resposta do sistema nervoso do corpo humano é de alguns décimos de segundos (~ 0,2s), e o tempo a ser medido, no trajeto da luz de uma colina a outra, era de 33 milionésimos de segundo (0,000033s), é obvio que o erro introduzido no processo era muitíssimo maior do que o valor da grandeza determinada.

A primeira medição bem-sucedida da velocidade da luz foi feita por Ole Romer (1644-1710), em 1676. Ele percebeu que, dependendo da geometria Terra-Sol-Júpiter, poderia haver uma diferença de até mil segundos entre os tempos previstos dos eclipses das luas de Júpiter e os tempos reais em que esses eclipses fossem observados.

Ele presumiu corretamente que isso se deve ao tempo variável que leva para a luz viajar de Júpiter à Terra, pois a distância entre esses dois planetas varia. Ele obteve um valor de c equivalente a 214.000km/s, que era muito aproximado, uma vez que as distâncias planetárias não eram conhecidas com precisão naquela época.

Em 1728, James Bradley (1693-1762) fez outra estimativa ao observar a aberração estelar, sendo o deslocamento aparente das estrelas devido ao movimento da Terra em torno do Sol. Ele observou uma estrela em Draco e descobriu que sua posição aparente mudou ao longo do ano. Todas as posições estelares são afetadas igualmente dessa forma. Isso distingue a aberração estelar da paralaxe, que é maior para estrelas próximas do que para estrelas distantes.

Para entender a aberração, uma analogia útil é imaginar o efeito do seu movimento no ângulo em que a chuva passa por você enquanto você corre através dela. Se você ficar parado na chuva quando não há vento, ela cai verticalmente sobre sua cabeça.

Se você correr na chuva, ela se aproxima de você em um ângulo e o atinge na frente. Bradley mediu esse ângulo para a luz das estrelas e, conhecendo a velocidade da Terra em torno do Sol, encontrou um valor para a velocidade da luz de 301.000km/s.

Depois que James Clerk Maxwell (1831-1879) publicou sua teoria do eletromagnetismo, tornou-se possível calcular a velocidade da luz indiretamente, medindo a permeabilidade magnética e a permissividade elétrica do vácuo. Isso foi feito pela primeira vez por Weber e Kohlrausch, em 1857. Em 1907, Rosa e Dorsey obtiveram 299.788km/s. Era o valor mais preciso na época.

ONDAS ELETROMAGNÉTICAS (OEM)

Toda onda, seja uma onda elástica se propagando em meio material ou uma onda eletromagnética no vácuo, tem uma caracteristica em comum: grandezas y a elas associadas, que obedecem à equação de ondas dada por:

Essa onda se propaga com velocidade v na direção x. No caso de uma onda em uma corda, y representa o deslocamento vertical; e, em uma mola, o deslocamento longitudinal. No caso de ondas sonoras, y corresponde à variação de pressão e, no caso de ondas eletromagnéticas, às componentes do vetor campo elétrico E e do vetor campo magnético B.

Iniciamos considerando uma onda eletromagnética plana no vácuo, isto é, que se propaga em uma única direção x, além de ser linearmente polarizada com o campo elétrico paralelo ao eixo y e o campo magnético paralelo ao eixo z.

Diversas características dessa onda – como transporte, dissipação, geração e armazenamento de energia nos meios materiais –, podem ser descritas por meio das equações de Maxwell. Começamos escrevendo a lei de Gauss para o campo elétrico e a lei de Faraday-Henry:

E a lei de Gauss para o campo magnético e a lei de Ampère-Maxwell:

Em que μ₀ ϵ₀ são respectivamente a permissividade e permeabilidade do vácuo, cujos valores são:

Derivando a equação 2 em relação a x:

E a equação 4 em relação a t:

A combinação das equações 6 e 7 resulta em:

Que é uma equação perfeitamente similar à equação 1, indicando que o campo E se propaga ao longo do eixo x com a velocidade dada por:

Cujo valor pode ser calculado substituindo ϵ₀e μ₀, do que obtemos:

Uma solução da equação 8 é uma onda senoidal dada por:

A amplitude do campo elétrico é ${\mathrm{E}}_0$, a constante $\mathrm{k}\mathrm{ }=2\mathrm{\pi l}$ é chamada número de onda e a frequência angular é $\mathrm{\omega }$, dada por $\mathrm{\omega }=\frac{2\mathrm{\pi }}{\mathrm{T}}=2\mathrm{\pi n}$ sendo T o período da onda, isto é, o tempo necessário para uma onda percorrer uma distância correspondente a um comprimento de onda $\lambda$ e n$\nu$ é a frequência da onda, ou seja, o número de oscilações por unidade de tempo.

A unidade de frequência no sistema internacional é s^-1, que recebe o nome especial de Hertz (Hz).

Por um procedimento similar podemos obter uma solução para o campo magnético, que também é uma onda senoidal:

Em que B₀ é a amplitude do campo magnético.

Derivando a equação 10 em relação à x e a 11 em relação à t, obtemos:

Essas duas equações se igualam, conforme a equação 2. Obtém-se, então:

Usando 10, 11 e 14, obtemos:

Podemos concluir que esses campos estão em fase, alcançando os valores zero e máximo, denominada amplitude, ao mesmo tempo. Os campos negativos significam que houve mudança no sentido dos campos. Uma onda eletromagnética plana linearmente polarizada está representada na imagem ao lado.

Uma característica importante de qualquer onda é a capacidade de transportar energia sem necessariamente transportar massa ou matéria. Uma onda eletromagnética, como qualquer outra onda, transporta energia ao se propagar e, quando encontra objetos, pode transferir energia a eles.

ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO

Finalmente, a faixa que compreende os raios X e os raios gama é especificada pela energia do fóton. Dizemos que os raios X usados na mamografia, por exemplo, têm energia média de 30keV e a energia da radiação gama emitida pelo Césio-137 é de 0,66MeV. Na verdade, essas são as energias de cada fóton, de cada feixe.

A imagem a seguir mostra o espectro eletromagnético em várias faixas, sendo a principal entre radiação ionizante e não ionizante.

NATUREZA QUÂNTICA DA LUZ

À primeira vista, a natureza quântica da luz pode ser um conceito estranho e desconcertante. A luz agindo como pedaços discretos, partículas sem massa fornecendo momentos e partículas fundamentais se comportando como ondas, muitas vezes, podem parecer algo saído do livro Alice no País das Maravilhas.

Para muitos, o estudo desse ramo da Física pode ser tão fascinante quanto um romance clássico, um filme ou ainda uma série de sua preferência. Relembrando as obras de personagens lendários e cientistas brilhantes como Einstein, Planck e Compton, o estudo da natureza quântica da luz fornecerá a você um conto interessante de como uma interpretação inteligente de alguns detalhes levou às descobertas mais importantes dos últimos 150 anos.

RADIAÇÃO TÉRMICA

Um trabalho apresentado por Max Karl Ludwig Planck, em 14 de dezembro de 1900, com o título Sobre a teoria da Lei da distribuição de Energia do espectro Normal, mostrou falhas importantes na teoria clássica da Termodinâmica. Essa data marcou o início de mais uma revolução na Física. Surgiu, então, a teoria quântica.

A seguir, os detalhes da teoria de Planck e sua importância para a origem da teoria quântica moderna.

RADIAÇÃO DE CAVIDADE E CORPO NEGRO

Um corpo negro, como seu próprio nome indica, é um sólido que absorve toda a radiação que incide sobre sua superfície, a radiação térmica. Tal dispositivo se refere a uma cavidade construída no interior de um sólido qualquer, aquecido a uma temperatura T, que se comunica com o meio externo através de um pequeno orifício, como mostram as imagens.

A imagem a seguir apresenta alguns exemplos de distribuições espectrais para diferentes temperaturas em Kelvin (K) de um corpo negro. Somente a partir de uma temperatura em torno de 800K é que começa a haver emissão na região visível do espectro eletromagnético. Nessa temperatura, o corpo se incandesce e tem uma cor vermelho-rubro.

Por causa da habilidade de absorver toda a radiação vinda do meio externo, o orifício da cavidade tem características de um corpo negro e a radiação térmica emitida por ele é conhecida como radiação de corpo negro.

Praticamente, toda a radiação vinda do meio externo, que entra na cavidade através do orifício não consegue sair dela, e será refletida um certo número de vezes até ser absorvida pelas paredes internas, como vimos na imagem anterior. Com a agitação térmica, as partículas carregadas que compõem as paredes da cavidade oscilam e produzem radiação térmica, que é emitida através do orifício.

A intensidade de radiação em função do comprimento de onda a uma dada temperatura é chamada de radiância espectral. No final do século XIX, já havia dados experimentais da distribuição espectral da radiação de um corpo negro. Gustav Kirchhoff (1824-1887), em 1859, provou que a radiação emitida (R_T) depende apenas da temperatura absoluta T e do comprimento de onda $\lambda$, da seguinte forma:

Ele lançou, então, um desafio aos físicos para que encontrassem uma função R_T ($\lambda$).

Em 1879, Josef Stefan (1835-1893), usando argumentos empíricos, demonstrados teoricamente mais tarde, em 1884, por Ludwig Eduard Boltzmann, lei que ficou conhecida como lei de Stefan-Boltzmann, mostra que energia total emitida (E) por um corpo negro seria proporcional à quarta potência da temperatura absoluta $(E\mathrm{ }~\mathrm{ }{T}^4)$, demonstração matemática a partir da termodinâmica e da teoria eletromagnética de Maxwell, sendo escrita na forma:

Em que $s=\mathrm{ }\mathrm{5,67}\mathrm{ }x\mathrm{ }{10}^{-8}W/m^2{K}^4$ é uma constante universal denominada de constante de Stefan-Boltzman. Contudo, a função R_T($\lambda$) ainda não havia sido encontrada.

 Em 1896, Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien (1864-1928) propôs uma solução para o desafio de Kirchhoff na forma:

Em que C₁ e C₂ são constantes. Embora essa função se ajustasse a valores experimentais na faixa de pequenos comprimentos de onda, ela se desviava na região do infravermelho, como mostraram Heinrich Rubens (1865-1922) e Ferdinand Kurlbaum (1857-1927), em 1898; e Otto Richard Lummer (1860-1925) e Ernest Pringsheim (1859-1917), em 1899, com medidas mais precisas da radiância espectral.

Teoria de Rayleigh-Jeans para a radiação de corpo negro

No início de século XX, John William Strutt (1842-1919) e James Hopwood Jeans (1877-1946), utilizando a teoria clássica para estudar a densidade de energia da radiação de cavidade, ou de corpo negro, o que resultou em sérias inconsistências com os dados experimentais, publicaram um artigo propondo uma modificação na lei de Wien.

Teoria de Planck

Rubens visitou Max Karl Ernest Ludwig Planck (1858-1947) em outubro de 1900, e explicou seus resultados. Poucas horas depois de Rubens ter deixado a casa de Planck, este imaginou uma fórmula para a função R_T ($\lambda$) de Kirchhoff. Essa fórmula desenvolvida empiricamente se ajustava muito bem a todos os comprimentos de onda, mas Planck não estava satisfeito. Ele queria desenvolver a fórmula teoricamente.

O problema com que Planck se deparou e que Jeans descreveria detalhadamente mais tarde, em 1905, em um artigo, estava no que ficou conhecido como a “Catástrofe Ultravioleta”, conforme imagem:

A teoria clássica, para o cálculo da distribuição espectral de energias dentro do corpo negro, descreveria perfeitamente o comportamento para grandes comprimentos de onda. Contudo, para $\lambda$ na faixa do ultravioleta, ela divergia profundamente. Esse resultado clássico é descrito pela função:

Ao longo de muitos anos, vários físicos tentaram conciliar o conceito de corpo negro com a distribuição de energia prevista pela termodinâmica. No entanto, nenhum resultado previsto pela teoria era compatível com os espectros obtidos experimentalmente com sistemas que simulavam um corpo negro.

Em 1901, Max Planck, ao reinterpretar a emissão à radiação, na tentativa de solucionar a inconsistência entre a teoria clássica e a experiência para a radiação de cavidade, teve que assumir uma hipótese que violava o princípio da equipartição de energia. Planck percebeu que o resultado experimental seria reproduzido, quando: A energia total média tende a kT ($<\mathrm{\epsilon }>\mathrm{ }=\mathrm{kT}$), como na teoria clássica, quando a frequência tende a zero, mas tende a zero quando a frequência tende ao infinito.

Assim, Planck supôs que a energia média dos modos eletromagnéticos é uma função da frequência $\mathrm{\nu }$, contrariando o princípio da equipartição de energia.

O princípio da equipartição de energia tem sua origem na distribuição de partículas clássicas de Boltzmann. Em equilíbrio térmico a uma temperatura T, a energia é compartilhada igualmente entre todas as suas várias formas. Por exemplo, a energia cinética média por grau de liberdade no movimento translacional de uma molécula deve ser igual à do movimento rotacional.

Para isso, é necessário primeiro calcular a densidade de modos de uma frequência (número de modos por unidade de frequência) e depois multiplicar pela densidade de energia média dessa frequência. A primeira etapa envolve apenas um estudo geométrico da cavidade e não havia o que alterar. Restava apenas, então, obter o valor para a densidade de energia média por frequência.

O cálculo clássico da energia média resultava em:

Esse valor para a energia média conduz a um perfeito ajuste com os dados experimentais na região de grandes comprimentos de onda, isto é, quando a frequência tende a zero. Para a região em que a frequência cresce, tipicamente no ultravioleta, aparece uma discrepância enorme, pois, como mostra a imagem da catástrofe ultravioleta, a curva tende a zero quando $\lambda$ tende a zero, enquanto o resultado clássico vai a infinito.

A grande contribuição de Planck se deu quando ele observou que, em vez de assumir valores contínuos, a energia E deveria assumir somente valores discretos (pacotes de energia) e múltiplos de uma grandeza proporcional à frequência, isto é:

Em que n = 0, 1, 2, 3,...., $\nu$ é a frequência e h uma constante que ficou conhecida como constante de Planck e cujo valor é, atualmente:

Ao postular a quantização de energia das ondas, Planck conseguiu explicar o espectro observado experimentalmente e descrevê-lo teoricamente.

Em termodinâmica, o princípio do corpo negro é usado para determinar a natureza e a quantidade de energia emitida por um corpo aquecido. A radiação do corpo negro tem servido como uma importante fonte de confirmação para a teoria do Big Bang, a qual assegura que o universo nasceu em uma explosão monumental ocorrida cerca de aproximadamente 13,8 bilhões de anos atrás.

De acordo com a teoria, a explosão deixou uma radiação de fundo cósmica do corpo negro remanescente que é uniforme em todas as direções e tem uma temperatura equivalente a somente uns poucos graus kelvin. Essa radiação uniforme, com temperatura de 2,7K, foi descoberta em 1964 por Arno A. Penzias (1933) e Robert W. Wilson (1936), os quais receberam o prêmio Nobel de Física em 1978 por seu trabalho.

Dados recentes obtidos pelo satélite COBE (Cosmic Microwave Background Explorer) da NASA, tem revelado pequenas flutuações na radiação que estão sendo interpretadas como relacionadas às “sementes” de estrelas e galáxias.

Postulados de De Broglie

Em sua tese de doutorado, apresentada em 1924 à Faculdade de Ciências da Universidade de Paris, Louis Victor Pierre Raymond, 7º duque de Broglie, postulou a existência da onda de matéria. De Broglie propôs que os elétrons também se comportariam como ondas. Seu argumento foi: já que a luz se comporta ora como onda, ora como matéria, por que a matéria não poderia fazer o mesmo?

Baseado na teoria dos quanta de energia, proposta por Planck e Einstein, o trabalho de De Broglie constituiu uma das principais bases da mecânica quântica. Cinco anos mais tarde, De Broglie recebeu o prêmio Nobel de Física, quando suas ideias foram definitivamente comprovadas por experiências. Foi a ideia da onda de matéria de De Broglie que inspirou Erwin Schrödinger a propor a sua teoria quântica moderna.

Para De Broglie, a dualidade onda-partícula da radiação também deveria ocorrer com a matéria. Para isso, ele considerou a questão mais simples possível, isto é, um corpúsculo em movimento retilíneo e uniforme, com energia e momento conhecidos.

De acordo com essa hipótese, a energia E = hn e o comprimento de onda $\lambda$, associado ao momento linear de módulo p, pode ser descrito por:

A quantização do momento angular no átomo, proposta empiricamente por Bohr, pode ser obtida diretamente do postulado de De Broglie. Como o elétron no átomo deve mover-se em órbitas discretas e fechadas, de acordo com o postulado de Bohr, então, uma órbita de raio r deve conter um número inteiro n de onda de De Broglie do elétron, como mostra a imagem ao lado.

De acordo com essa ideia, a razão entre o perímetro da orbita $2\mathrm{\pi r}$ e o comprimento de onda $\mathrm{\lambda }$ de De Broglie, resulta em um número inteiro n dado por:

Sabe-se que, no caso da luz, o limite de utilização da óptica geométrica ocorre para comprimentos de onda ($\lambda$) muito menores do que a dimensão da abertura, ou obstáculos. Assim, no domínio da óptica geométrica, a luz se comporta como raios geométricos, similarmente ao caso das trajetórias das partículas clássicas macroscópicas.

Entretanto, quando o comprimento de onda ($\lambda$) é muito maior do que a dimensão de abertura, o ângulo de difração torna-se importante, a natureza ondulatória da luz se evidencia e o fenômeno deve ser descrito pela óptica ondulatória.

Na época de De Broglie, os sistemas mais apropriados para esse fim eram os espaçamentos entre planos adjacentes de um cristal, de aproximadamente 1A° (Angstron = 10^-10 metros). Atualmente, tem-se acesso a sistemas que envolvem dimensões nucleares cujas dimensões de abertura são de aproximadamente 10^-4A°. Ao considerar o comprimento de De Broglie, vê-se que não se pode esperar a detecção de qualquer evidência de movimento ondulatório no movimento da bola de boliche, em que o ângulo de difração é (θ) ≈ 10^-25A° , para uma abertura de aproximadamente 1A°.

Em 1927, Clinton Joseph Davisson (1881-1958) e Lester Halbert Germer (1896-1971), demonstraram, experimentalmente, pela primeira vez, a difração de elétrons através de cristais. Essa experiência, por incrível que pareça, comprovou a hipótese da natureza ondulatória do elétron. A experiência de Davison e Germer, como é chamada, é mostrada nas imagens a seguir.

No experimento, um feixe de elétrons de baixa energia é produzido em um filamento aquecido e acelerado por uma diferença de potencial V. O feixe eletrônico incide normalmente sobre a superfície de um cristal de Níquel. Um detector é colocado a um ângulo $\mathrm{\varphi }$ em relação ao feixe incidente para medir a intensidade do feixe espalhado.

Na experiência, espera-se encontrar regiões de máximos e mínimos de intensidade, resultantes das interferências construtiva e destrutiva nos planos cristalinos do cristal de Níquel. Exatamente como ocorre com o espalhamento de raios X nos cristais, para incidência normal, a condição de interferência construtiva, ou na linguagem cristalográfica “a condição de Bragg”, fornece:

A experiência mostra que existe uma intensidade máxima para b=50° ou α = 65°, obtidas da experiência, encontra-se o comprimento de onda do feixe espalhado como:

Por outro lado, o comprimento de onda de De Broglie para elétrons de energia cinética K = 54 eV = 86,4 x 10^-19 J: será:

A concordância entre os resultados confirma quantitativamente a hipótese da onda de matéria de De Broglie.

Ainda em 1927, George Paget Thomson, filho de J. J. Thomson, mostrou a difração de feixes de elétrons ao passar através de películas cristalinas, confirmando, de forma independente, o postulado de De Broglie.

É interessante mencionar que Joseph John Thomson recebeu o prêmio Nobel de Física, em 1906, pela medida da razão carga/massa do elétron, enquanto seu filho, George Paget Thomson, recebeu o prêmio Nobel de Física, em 1937, por experimentos de difração com elétrons, realizados em 1927.

Interpretação probabilística da dualidade onda-partícula

A interpretação probabilística da dualidade onda-partícula, para o caso da radiação, foi proposta por Albert Einstein. Em seguida, Max Born usou argumentos similares para o caso da matéria. No modelo ondulatório, a intensidade (I) da radiação é proporcional ao quadrado do módulo do campo elétrico (E), isto é:

No modelo corpuscular, ou de fótons, a intensidade da radiação é dada em função da frequência ($\mathrm{\nu }$), isto é:

Assim, nas diferentes interpretações, ondulatória e corpuscular, para a intensidade da radiação, espera-se que, nas regiões em que o campo elétrico é mais intenso, a concentração de fótons seja maior.

O próprio conceito de fóton, proposto por Einstein para descrever a radiação eletromagnética, implica uma interpretação probabilística para a intensidade luminosa. Tal fato pode ser observado na experiência de interferência de dupla fenda de Young, mostrada a seguir.

O padrão de interferência observado no anteparo é resultante da interferência entre as ondas provenientes das duas fendas. No ponto P₁, onde a interferência é destrutiva, o campo elétrico resultante é nulo e nenhum fóton é observado. No ponto P₂, onde a interferência é construtiva, o campo elétrico resultante é máximo e muitos fótons são observados.

Se a intensidade da luz nas fendas for reduzida, observa-se ainda o padrão de interferência, desde que se substitua o anteparo por um filme fotográfico e espere-se um tempo suficientemente longo para sensibilizá-lo.

A interação da luz com o filme fotográfico é um fenômeno quântico. Se o filme é exposto durante um curto intervalo de tempo, com uma fonte de luz de baixa intensidade, não se observa somente uma versão menos intensa da figura de interferência obtida com luz intensa, mas também “pontos” resultantes das interações dos fótons com os cristalitos do filme, como mostrarão as imagens, em seguida. 

• Nas regiões onde as ondas interferem destrutivamente, não aparecem quaisquer pontos, ou seja, existe uma probabilidade nula de que fótons atinjam essas regiões.
• Nas regiões onde a interferência é construtiva, aparecem vários pontos, indicando que é grande a probabilidade de que os fótons ali cheguem.
• À medida que a intensidade ou o tempo de exposição aumentam, as flutuações se uniformizam e não se observa mais a natureza da luz.

Como o quadrado do módulo do campo elétrico $\left({\left|\overrightarrow{E}\right|}^2\right)$ é proporcional à quantidade de fótons em uma determinada área por tempo, pode-se concluir que ${\left|\overrightarrow{E}\right|}^2$ é proporcional à probabilidade P de um fóton atingir um determinado ponto do filme.

Nos pontos onde ${\left|\overrightarrow{E}\right|}^2$ é nulo, não se observa fótons no filme ou no anteparo, enquanto nos pontos onde o ${\left|\overrightarrow{E}\right|}^2$ é grande, será maior a probabilidade de se observar os fótons.

Baseado nas conclusões de Einstein para a radiação, Max Born propôs uma interpretação probabilística da dualidade onda-partícula para a matéria.

Na teoria ondulatória da matéria, o movimento da partícula é descrito por uma função de onda $\left(\mathrm{\psi }\right)$, com dependência espacial e temporal $(\mathrm{r} ⃗, \mathrm{t})$. Do mesmo modo que o campo elétrico $\left(\overrightarrow{\mathrm{E}\mathrm{ }}\right(\overrightarrow{\mathrm{r}},\mathrm{ }\mathrm{t}\left)\right)$ é uma solução da equação de onda para a radiação eletromagnética, a função de onda $\left(\mathrm{\psi }\right)$ deve ser solução de uma equação de onda apropriada. Tal equação foi obtida por Erwin Schrödinger.

RAIOS X

Röentgen ficou tão intrigado com o fenômeno que passou as setes semanas seguintes trabalhando sozinho no laboratório, investigando as características do fenômeno e o poder de penetração daqueles raios para confirmar que aqueles eram, de fato, raios “novos”. Pesquisando, verificou que a nova radiação provinha do ponto em que os raios catódicos atingiam a parede de vidro do tubo, e tinha uma notável capacidade de atravessar diferentes materiais, sendo mais ou menos absorvida conforme a densidade e o peso atômico do meio penetrado.

Em 22 de dezembro de 1895, Röentgen chamou sua esposa Anna Bertha para falar de sua descoberta e a convenceu a radiografar sua mão. Para isso, ela deveria manter a mão estática entre o tubo e a placa fotográfica durante 15 minutos de exposição. Hoje, as radiografias são produzidas em fração de segundo.

Após o Natal, Röentgen terminou de escrever um artigo científico sobre sua descoberta, batizando-a de Raios X, e o enviou para ser publicado em um jornal científico de Würtzburg. O artigo, contendo as primeiras radiografias produzidas, incluindo a da mão de sua esposa, foi publicado em 28 de dezembro de 1895.

No início do ano seguinte, Röentgen enviou cópias do artigo a alguns cientistas renomados. O físico Franz Exner, em um jantar informal, exibiu o artigo e todos os presentes ficaram perplexos com as radiografias. Um jornalista austríaco presente enviou as imagens para o jornal, que, no dia 5 de janeiro de 1896, publicou a notícia, na primeira página: A nova forma fantástica de ver o interior do corpo sem necessitar cortá-lo.

No dia seguinte, a notícia seria publicada na Inglaterra, no London Cronicle e, em 23 de janeiro, na revista Nature; logo após, na Science, nos EUA. Um ano após a descoberta, 49 livros e mais de mil artigos científicos tinham sido escritos sobre o assunto.

Nesse período, Röentgen descobriu várias outras propriedades dos raios X:

• Há corpos mais ou menos opacos aos raios X (por isso, as imagens radiográficas em diferentes tons de cinza);
• Não são desviados por campos elétricos ou magnéticos;
• Propagam-se em linha reta;
• Têm um alto poder de penetração;
• Produzem fluorescência em muitas substâncias: fósforo, compostos de cálcio, vidro de urânio, sal-rocha;
• Filmes fotográficos são escurecidos pelos raios X;
• Descarregam eletroscópios carregados.

Produção de raios X

Os raios X são radiações eletromagnéticas de comprimento de onda menor do que um angstrom $(1\mathrm{A}°={10}^{-10}\mathrm{m}\mathrm{ })$ e com frequência acima de ${10}^{16}\mathrm{Hz}$. Eles podem ser produzidos quando um feixe de elétrons de alta energia é acelerado por um campo elétrico intenso e colide com um alvo de átomos pesados. A imagem mostra o esquema básico de um equipamento de raios X.

Espectro contínuo dos raios X (frenamento)

Quando os elétrons acelerados (raios catódicos) atingem o alvo de metal, eles colidem com elétrons no alvo. Em tal colisão, parte do momento do elétron incidente é transferido para o átomo do material alvo, perdendo parte de sua energia cinética, K; eles mudam de direção e alguns emitem a diferença de energia sob a forma de ondas eletromagnéticas, os raios X.

De acordo com a teoria eletromagnética clássica, a desaceleração dos elétrons causaria emissão de um espectro contínuo de radiação, desde comprimentos de onda zero até infinito. Entretanto, o espectro de raios X, para o caso de um alvo de tungstênio, para diferentes voltagens de aceleração, não está totalmente de acordo com a previsão clássica. A característica mais importante observada nos espectros é que, para uma dada energia dos elétrons, existe um comprimento de onda mínimo ${\mathrm{l}}_{\mathrm{mín}}$ muito bem definido.

A intensidade varia suavemente com o comprimento de onda. A intensidade atinge um valor máximo conforme o comprimento de onda aumenta, então, cai em comprimentos de onda maiores. Para qualquer material, existe um comprimento de onda mínimo ${\mathrm{l}}_{\mathrm{mín}}$ que dependerá somente da diferença de potencial V. Quanto maior a diferença de potencial, menor o valor do comprimento de onda mínimo.

Esse é o fato que a teoria eletromagnética clássica não pode explicar, pois, de acordo com essa teoria, o espectro emitido deveria ser contínuo, não havendo razão para a existência de um limiar de comprimento de onda. Se, entretanto, o modelo de fótons for adotado para os raios X, então, o fenômeno terá uma explicação satisfatória, como se verifica na sequência.

Um elétron de energia cinética K é desacelerado na interação com o núcleo pesado do átomo. A energia perdida pelo elétron nesse processo é convertida em um fóton de raios X, como . Esse processo é conhecido como bremsstrahlung. Do alemão bremss, que significa frenagem, e strahlung, que significa radiação, radiação de freamento.

Se a energia cinética do elétron após a desaceleração é K’, então, a energia do fóton gerado será:

ou, em termos de comprimento de onda,

Antes de chegar ao repouso, o elétron experimenta vários processos bremsstrahlung. As consequentes perdas de energia cinética resultam no espectro contínuo, observado anteriormente. O fóton de menor comprimento de onda, l_mín, é emitido quando um elétron perde toda a sua energia cinética (K’ = 0) em um único processo de bremsstrahlung. Nesse caso, a equação torna-se:

ou, assumindo:

Assim, o limite mínimo dos comprimentos de onda corresponde a uma conversão completa da energia dos elétrons em fótons de raios X. A equação 4 mostra, explicitamente, que $l_{m\mathrm{í}n}\mathrm{ }~0$ , que é a previsão clássica. Entretanto, é o fato de h ser diferente de zero que confere a $l_{m\mathrm{í}n}$ uma manifestação da quantização de energia radiante.

Difração de raios X e lei de Bragg

Em 8 de junho de 1912, Max von Laue anunciou sua descoberta da difração de raios X em cristais como rede de difração tridimensional.

O rápido desenvolvimento da Física na Europa do pré-guerra forneceu o pano de fundo necessário para essa descoberta que, por sua vez, resolveu o problema da natureza dos raios X e do tamanho dos átomos. Dois pesquisadores ingleses, Willian Henry Bragg e William Lawrence Bragg, pai e filho, demonstraram a relação que passou a ser conhecida como lei de Bragg, fundamental para o estudo de estruturas cristalinas com o uso da difração de raios X.

Os cristais são arranjos regulares de átomos e os raios X podem ser considerados ondas de radiação eletromagnética. Os átomos espalham ondas de raios X, principalmente através dos elétrons dos átomos. Assim como uma onda do oceano atingindo um farol produz ondas circulares secundárias que emanam do farol, um fóton de raios X atingindo um elétron produz ondas esféricas secundárias emanando do elétron.

Esse fenômeno é conhecido como espalhamento elástico e o elétron (ou farol) é conhecido como espalhador. Uma matriz regular de dispersores produz uma matriz regular de ondas esféricas. Embora essas ondas se cancelem na maioria das direções, por meio de interferência destrutiva, elas se somam de forma construtiva em algumas direções específicas, determinadas pela lei de Bragg.

Um plano de átomos em um cristal, também chamado de plano de Bragg, reflete os raios X, exatamente da mesma maneira que a luz é refletida de um espelho plano, como mostrado a seguir:

A reflexão de planos sucessivos pode interferir construtivamente se a diferença de caminho entre dois raios for igual a um número inteiro de comprimentos de onda.

A distância $\stackrel{—}{AB}\mathrm{ }=\mathrm{ }2dsin\theta$, de modo que, pela lei de Bragg, temos:

Em que, na prática, é normal assumir difração de primeira ordem, de modo que n = 1.

Um determinado conjunto de planos atômicos dá origem a uma reflexão em um ângulo, vista como um ponto ou um anel em um padrão de difração, também chamado de difratograma.

Técnicas de difração

As técnicas convencionais de difração usam amostras policristalinas compostas de muitas partículas finas, orientadas aleatoriamente e expostas à radiação de raios X monocromática. Cada partícula pulverizada é um cristal, e a presença de muitos cristais orientados aleatoriamente garante que a orientação de algumas partículas esteja correta, de modo que todos os planos cristalográficos possíveis possam ser usados para difração.

Um difratômetro é um dispositivo usado para determinar o ângulo no qual a difração ocorre em uma amostra pulverizada.

A plataforma e a amostra estão acopladas mecanicamente, tais que uma rotação da amostra por um ângulo θ é acompanhada de uma rotação de 2θ do contador. Isso assegura que os ângulos incidente e de reflexão sejam mantidos iguais. Colimadores são incorporados na trajetória do feixe para produzir um feixe focado e bem definido.