Descrição

Apresentação da demanda e da oferta por fatores de produção. Quantidade e preço de equilíbrio competitivo no mercado de fatores de produção. Mercado de fatores com poder monopsônico e de monopólio.

PROPÓSITO

Desenvolver as ferramentas microeconômicas para entender o funcionamento e as características do mercado de fatores, que inclui alguns dos mais importantes da economia, como o mercado de trabalho.

OBJETIVOS

Módulo 1

Descrever o equilíbrio no mercado de fatores de produção em um contexto de competição perfeita

Módulo 2

Descrever o equilíbrio no mercado de fatores de produção em um contexto de competição imperfeita

Introdução

Em geral, ao falarmos em mercados, pensamos na compra e venda de bens finais: carros, alimentos, roupas etc. No entanto, as firmas também comercializam insumos produtivos com seus fornecedores no que chamamos de mercado de fatores de produção.

Nesse mercado, enquanto algumas empresas demandam fatores de produção como trabalho, capital e matérias-primas, os indivíduos e outras empresas ofertarão tais insumos. Por consequência, as forças de oferta e demanda determinarão os preços e as quantidades de equilíbrio. Assim como no mercado de bens finais, no mercado de fatores a concorrência pode ser perfeita ou imperfeita. Começaremos analisando a primeira situação e, em seguida, estudaremos modelos em que demandantes ou ofertantes de fatores de produção têm poder de mercado.

MÓDULO 1

Descrever o equilíbrio no mercado de fatores de produção em um contexto de competição perfeita

DEMANDA POR FATORES DE PRODUÇÃO

Começaremos nossa análise supondo concorrência perfeita no mercado de fatores de produção: tanto os vendedores dos insumos quanto seus compradores tomam os preços desses fatores como dados, ou seja, não têm poder de mercado.

Esse é um contexto mais geral em que há um grande número de pequenos ofertantes e demandantes de fatores produtivos, limitando a capacidade de um agente econômico qualquer afetar preços. Do mesmo modo, suponha que a firma que usa esses fatores produza um bem ou serviço que, ao final, será vendido em um mercado competitivo.

Vamos começar a nossa análise simplificando o problema de maximização de lucros da firma para torná-lo mais tratável.

Suponha que a empresa utilize apenas dois insumos para sua produção: capital (k) e trabalho (l). A escolha da quantidade de capital e trabalho empregado no processo produtivo relaciona-se com o nível de produto através da função de produção f(k,l). Além disso, considere que o capital é contratado pela firma ao preço r, que é exatamente o custo de aluguel do capital. Já o trabalho é contratado pelo preço w, isto é, o salário.

Vamos fazer duas observações preliminares:

A firma pode ser dona do capital, o que não afeta nosso modelo. Em vez de pagar o aluguel das suas máquinas, ela incorrerá no custo de oportunidade de mantê-las; ela poderia vender o maquinário e guardar o dinheiro no banco. Note que estamos supondo que o retorno obtido no banco (ou em outro investimento) é igual ao aluguel que se paga por uma máquina – é uma simplificação, pois não vamos modelar o mercado financeiro.

Tanto o aluguel do capital quanto o salário dos trabalhadores serão medidos por unidade de tempo – pode ser uma hora, uma semana, ou qualquer outra unidade. Falamos então no fluxo de uso desses insumos, não em um estoque.

O problema de maximização de lucros da empresa pode ser escrito como:

$\max_{k, l} p f (k, l) - r k - w l$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Assim, a decisão de maximização de lucro da firma resume-se à escolha das quantidades de insumos produtivos, k e l, que dão o maior lucro possível. Pelas condições de primeira ordem do problema de maximização de lucro da empresa, temos que:

Condições de primeira ordem

Vamos supor que as condições de primeira ordem são necessárias e suficientes para maximização de lucro. Ou seja, consideramos que as condições de segunda ordem são respeitadas.

$\frac{\partial π}{\partial k} = p \frac{\partial f (k, l)}{\partial k} - r = 0$

$\frac{\partial π}{\partial l} = p \frac{\partial f (k, l)}{\partial l} - w = 0$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Nessa expressão, π representa a função lucro. Em equilíbrio, as escolhas ótimas de insumos para a firma são tais que:

$p \frac{\partial f (k, l)}{\partial k} = r$

$p \frac{\partial f (k, l)}{\partial l} = w$

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Perceba que os termos $\frac{\partial f (k, l)}{\partial k}$ e $\frac{\partial f (k, l)}{\partial l}$ representam, respectivamente, o produto marginal do fator capital e do fator trabalho. Isto é, medem a variação da quantidade do bem final produzida pela firma decorrente da contratação de uma unidade adicional de cada um desses insumos. E p é o preço de mercado de cada unidade do produto.

Portanto, $p \frac{\partial f (k, l)}{\partial k}$ e $p \frac{\partial f (k, l)}{\partial k}$ são, respectivamente, o valor do produto marginal do capital e o valor do produto marginal do trabalho. Ou ainda, podemos denominá-los de receita do produto marginal do capital e receita do produto marginal do trabalho. Eles medem a receita adicional resultante da venda da produção criada pelo emprego de uma unidade adicional do insumo produtivo.

Como apontado por Nicholson e Snyder (2012), a condição de otimização informa que a firma contratará insumos produtivos até o ponto em que o ganho adicional de receita com a contratação de uma unidade extra do fator de produção seja igual ao custo marginal de compra desse fator. Como estamos em concorrência perfeita, o custo marginal de contratação de qualquer insumo será igual ao seu preço de mercado.

Se o valor ou a receita do produto marginal de um insumo for maior do que seu custo, então, a empresa conseguirá aumentar seus lucros aumentando a quantidade do insumo contratada.

Se o valor ou a receita do produto marginal for menor do que seu custo, então, os lucros podem ser aumentados com a diminuição da quantidade de insumos utilizada pela firma.

Dessa maneira, o ponto de maximização de lucro é aquele em que a receita marginal de um insumo será igual ao seu preço.

Para facilitar a notação, podemos escrever a condição de otimização como:

$p {P M g}_{k} = r$

$p {P M g}_{l} = w$

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Em que PMg_k e PMg_l são, respectivamente, os produtos marginais dos fatores capital e trabalho. Essas duas condições fornecem um sistema de equações com duas equações e duas incógnitas.

Resolvendo para k* e l* em função dos preços, obteremos as curvas de demanda de fatores, isto é, a relação entre o preço de um fator e a escolha maximizadora de lucro desse fator pela empresa. Assim, para qualquer vetor de preço (p,r,w), podemos encontrar a demanda ótima de fatores da firma (k*,l*).

Para ficar claro como obtemos a demanda por fatores da firma em um mercado competitivo, vamos apresentar o exemplo de uma empresa com função de produção Cobb-Douglas dada por f(k,l) = k^αl^β. Logo, o problema de maximização de lucro da firma pode ser escrito como:

$\max_{k, l} p k^{α} l^{β} - r k - w l$

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As condições de primeira ordem são:

$\frac{\partial π}{\partial k} = p α k^{α - 1} l^{β} - r = 0$

$\frac{\partial π}{\partial l} = p β k^{α} l^{β - 1} - w = 0$

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Multiplicando a primeira equação por k e a segunda por l, temos:

$p α k^{α} l^{β} - r k = 0$

$p β k^{α} l^{β} - w l = 0$

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Para simplificar, usaremos y = k^αl^β para denotar a quantidade produzida. Portanto, as duas expressões podem ser reescritas como:

$p α y = r k$

$p β y = w l$

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Assim, resolvendo para os níveis ótimos de demanda de capital e trabalho, temos:

$k^{*} = \frac{α p y}{r}$

$l^{*} = \frac{β p y}{w}$

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Essa é a demanda ótima por insumos para a escolha ótima de nível de produção, y. No entanto, como y = k^αl^β, temos:

$y = {(\frac{α p y}{r})}^{α} {(\frac{β p y}{w})}^{β}$

$y = y^{α + β} {(\frac{α p}{r})}^{α} {(\frac{β p}{w})}^{β}$

$\frac{y}{y^{α + β}} = {(\frac{α p}{r})}^{α} {(\frac{β p}{w})}^{β}$

$y^{1 - α - β} = {(\frac{α p}{r})}^{α} {(\frac{β p}{w})}^{β}$

$y = {(\frac{α p}{r})}^{\frac{α}{1 - α - β}} {(\frac{β p}{w})}^{\frac{β}{1 - α - β}}$

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Que é a função da oferta da empresa. Por fim, substituindo a oferta da firma nas demandas ótimas por fatores, k^* e l^*, temos a seguinte expressão final para a demanda por fatores de produção:

$k^{*} = \frac{α p y}{r} = \frac{α p}{r} ({(\frac{α p}{r})}^{\frac{α}{1 - α - β}} {(\frac{β p}{w})}^{\frac{β}{1 - α - β}})$

$l^{*} = \frac{β p y}{w} = \frac{β p}{w} ({(\frac{α p}{r})}^{\frac{α}{1 - α - β}} {(\frac{β p}{w})}^{\frac{β}{1 - α - β}})$

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Ou, simplificando,

$k^{*} = {(\frac{α p}{r})}^{\frac{1 - β}{1 - α - β}} {(\frac{β p}{w})}^{\frac{β}{1 - α - β}}$

$l^{*} = {(\frac{α p}{r})}^{\frac{α}{1 - α - β}} {(\frac{β p}{w})}^{\frac{1 - α}{1 - α - β}}$

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Encontramos, então, as escolhas ótimas de capital e trabalho como função dos parâmetros do problema – em particular, dos preços w e r dos fatores de produção.

Essas escolhas são exatamente as curvas (ou funções) de demanda de fatores do nosso exemplo.

Atenção

A solução acima só é válida para α > 0, β > 0, e α + β < 1, pois, para o caso de dois fatores de produção, o ponto ótimo da condição de primeira ordem só é um máximo local caso f_kk < 0, f_ll < 0, e f_kkf_ll – f_kl² > 0, em que f_kk, f_ll e f_kl derivadas parciais de segunda ordem.

Podemos usar as demandas por fatores para fazer estática comparativa. Observe que um aumento do preço do insumo diminui sua demanda, enquanto o aumento do preço do produto final aumenta a demanda pelos fatores de produção, assim como a oferta do bem final pela firma competitiva.

Para tornarmos as conclusões sobre a função demanda de fatores de nosso exemplo mais claras e gerais, analisaremos o problema de maximização da firma competitiva em dois casos: um com apenas um fator de produção e outro com dois fatores de produção.

Podemos, também, interpretar esses dois casos como sendo de curto prazo e longo prazo (VARIAN, 2012):

Curto prazo

A firma não é capaz de ajustar todos os insumos produtivos (um dos fatores é fixo).

Longo prazo

A empresa é livre para escolher a quantidade de todos os fatores (em particular, no longo prazo a firma pode escolher não usar fatores de produção, ou seja, sair do mercado).

Um fator de produção (curto prazo)

Suponha que, no problema de maximização de lucro da firma competitiva, ela deva escolher apenas a quantidade ótima do insumo trabalho. Como vimos anteriormente, a quantidade de trabalho demandada pela empresa ocorre no ponto em que:

$p {P M g}_{l} = w$

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Ou seja, o valor do produto marginal do trabalho é igual ao seu preço. Ou, reescrevendo:

${P M g}_{l} = \frac{w}{p}$

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Essa última condição pode ser vista graficamente, pois se caracteriza por uma condição de tangência: a inclinação da função de produção (PMg_l) deve ser igual à inclinação da reta isolucro (w/p).

Vamos entender melhor.

Seja f(l) a função de produção da empresa. Seu lucro é dado por (lembre-se de que estamos no caso de apenas um fator de produção – estamos omitindo o fator de produção capital, fixo, para facilitar a notação):

$π = p f (l) - w l$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

As retas isolucro proporcionam as combinações de insumos e produtos para determinado nível de lucro. Sendo assim, dado um nível de lucro π, para cada demanda por fator de trabalho l, temos a produção:

$f (l) = \frac{π}{p} + \frac{w}{p} l$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Que é a equação que descreve as retas isolucro. Perceba que sua inclinação é dada por w/p. Como vimos, no ponto de maximização de lucro da firma competitiva, o produto marginal do trabalho é igual a w/p.

Portanto, isso é simplesmente o ponto de tangência entre a função de produção e a reta isolucro mais alta, como na figura a seguir:

Imagem: Pedro Américo de Almeida Ferreira

A quantidade demandada de trabalho pela firma em equilíbrio será l^* da figura anterior, ponto em que a inclinação da função de produção (produto marginal do trabalho) se iguala à inclinação da reta isolucro mais elevada (com inclinação w/p).

No entanto, nosso objetivo principal é obter o formato da curva de demanda de fatores. Isto é, queremos saber como a escolha de insumos varia com seus preços.

A curva de demanda é negativamente inclinada?

Imagine o caso de um aumento nos salários. Como a demanda por trabalho varia diante desse aumento? Se os salários sobem de w_baixo para w_alto, a reta isolucro é mais inclinada (lembre-se de que sua inclinação é dada por w/p). O aumento de sua inclinação faz com que o ponto de tangência entre a reta de isolucro e a função de produção ocorra mais para esquerda, ou seja, há uma diminuição no nível ótimo de trabalho demandado pela firma.

O argumento fica mais claro analisando a figura a seguir:

Quando o preço do fator de produção trabalho aumenta (aumento do salário), a demanda por esse fator diminui. Assim, podemos concluir que as curvas de demanda de fatores têm inclinação negativa: um aumento nos preços está associado com a redução na quantidade demandada do fator de produção.

A relação negativa entre preços e demanda por fatores de produção é decorrência direta, como esclarece Nicholson (2004), da hipótese de produto marginal decrescente. Em equilíbrio, temos que pPMgl = w, portanto, um aumento dos salários (w), dado um preço fixo do produto final, implicará o aumento de PMg_l para manter a igualdade.

No entanto, como o produto marginal é decrescente, o seu aumento está associado com a diminuição da demanda por trabalho. Assim, aumentos de salários estão associados à diminuição da demanda por trabalho. De maneira mais geral, a curva de demanda de fatores é negativamente inclinada. Graficamente, a curva de demanda de fatores será da forma:

Quanto maior for o preço do fator, menor será sua demanda. Observe outra pergunta relevante:

Qual é o impacto do aumento do preço do bem final sobre a demanda de fatores?

RESPOSTA

Se o preço do produto final se eleva, a reta isolucro torna-se menos inclinada, implicando que o ponto de tangência é mais à direita, ou seja, há um aumento da demanda pelo fator de produção trabalho. Além disso, aumentando a demanda pelo insumo, a oferta do bem final pela firma aumenta. Portanto, podemos concluir que uma variação positiva nos preços dos bens finais está associada a uma maior demanda por fatores de produção, portanto, a um aumento da oferta do produto final.

Por fim, é interessante perceber que, supondo que a empresa use dois insumos produtivos, e sendo um deles fixo no curto prazo, então, uma variação nos preços do insumo fixo não altera a escolha da empresa por nenhum dos dois fatores produtivos. Enquanto um está fixo, a demanda pelo outro não depende dos preços do fator fixo. Assim, a oferta da firma continua igual. Apenas o lucro da empresa se altera.

Dois fatores de produção (longo prazo)

Agora vamos analisar o caso com dois fatores de produção. Podemos imaginar esse caso como se fosse de longo prazo, em que as firmas têm capacidade de escolher o nível de todos os insumos.

Suponha que o problema da firma seja escolher a quantidade de trabalho e capital para maximizar seu lucro. Com dois insumos, a relação entre o preço do fator e sua quantidade demandada torna-se mais complexa. Um aumento nos salários irá impactar a quantidade de trabalho exigida, mas também a demanda por capital da firma. Para analisarmos a curva de demanda de fatores neste contexto, devemos separar dois efeitos distintos: efeito substituição e efeito produto.

Clique nas informações a seguir. Clique nas informações a seguir.

Efeito substituição

Efeito produto

Mantendo a quantidade produzida pela firma constante, o aumento dos salários gera incentivos para que a empresa substitua trabalho por capital. Isto é verdade porque, a partir do problema de otimização da firma, obtemos PMg_k/PMg_l = r/w. Isso implica, para uma dada produção constante e supondo produto marginal decrescente dos fatores, que diante de aumento dos salários, a firma reduz a demanda por trabalho e aumenta a demanda por capital. Isso caracteriza o efeito substituição.

No entanto, diante de um aumento dos salários é improvável que a firma mantenha a quantidade produzida constante como supomos. O efeito produto é caracterizado por aumento (ou diminuição) do produto diante de redução (ou aumento) dos custos da firma. Em nosso exemplo, o aumento dos salários desloca a curva de custo marginal da empresa, fazendo com que ela produza menos para maximizar seu lucro. Assim, a diminuição da produção implica uma redução da demanda por trabalho e capital pela firma competitiva.

Dos efeitos substituição e produto podemos concluir que o aumento dos salários levará a uma diminuição da demanda por trabalho. Portanto, assim como no curto prazo, no longo prazo a curva de demanda de fatores é negativamente inclinada: variações nos preços dos fatores estão negativamente associadas com as suas respectivas quantidades demandadas.

Perceba, ainda, que não podemos afirmar qual será o impacto do aumento dos salários sobre a demanda por capital: o efeito substituição causa um aumento da demanda por capital, mas o efeito produto acarreta uma redução na quantidade de capital demandada pela firma. Assim, como os efeitos vão em sentidos opostos, nada podemos afirmar sobre a relação resultante.

De tudo que estudamos, podemos concluir que o problema de maximização de lucros da firma competitiva resulta em funções de demanda de fatores que são decrescentes em relação aos seus preços.

No vídeo abaixo, falaremos sobre Demanda de Fatores, Produção e Lucro em uma Função de Produção Linear

OFERTA DE FATORES DE PRODUÇÃO

O equilíbrio no mercado de fatores competitivo é caracterizado pela curva de demanda de fatores, que acabamos de descrever, e também pela curva de oferta de fatores.

A oferta de fatores é provida por indivíduos (os trabalhadores) ou empresas. Enquanto a firma produtora do bem final compra o fator trabalho de indivíduos, ela obtém capital e insumos de outras empresas.

Em um mercado de fatores competitivo, cada firma se defronta com uma oferta perfeitamente elástica para cada insumo, pois a empresa não tem poder de mercado. Sua demanda é incapaz de alterar o preço do produto. No entanto, a curva de oferta do mercado de fator de produção como um todo é positivamente inclinada, já que o custo marginal de produção é crescente. Quanto maior o preço do fator de produção, maior a quantidade ofertada desse mesmo fator pelas firmas ou pelos trabalhadores.

Assim, em mercados competitivos de fatores de produção, a curva de oferta de fatores é do tipo:

No caso particular do fator trabalho, sua oferta é derivada das próprias preferências dos indivíduos. Os agentes econômicos comparam os ganhos econômicos de trabalhar com o prazer desfrutado dos momentos de lazer. Sendo assim, o aumento dos salários aumenta o custo de oportunidade do lazer, fazendo com que haja maior oferta de trabalho pelos indivíduos, seja em horas trabalhadas dos que já estão no mercado, seja pela entrada de novos trabalhadores no mercado. No fim, a função de oferta do fator trabalho também é positivamente inclinada: variações positivas nos salários implicam maior oferta de trabalho.

Saiba mais

Estamos supondo que o efeito-substituição domina o efeito-renda quando ocorre um aumento de salários. Pesquise sobre oferta de trabalho e a equação de Slutsky para saber mais sobre isso.

EQUILÍBRIO no MERCADO DE FATORES COMPETITIVO

Já caracterizamos as curvas de demanda e oferta de fatores. O equilíbrio em um mercado competitivo de fatores é o ponto em que a demanda do fator se iguala à sua oferta. Ou seja, é o ponto de interseção entre as curvas de demanda e oferta de fatores.

Para o caso do mercado de trabalho especificamente, o equilíbrio ocorre como na figura a seguir. O ponto (W^*,L^*) é o de equilíbrio competitivo, ou seja, o ponto em que a quantidade demandada de trabalho pelas firmas é exatamente igual à quantidade ofertada pelos trabalhadores.

Qualquer salário maior que W^* causa um desequilíbrio em que a oferta de trabalho será maior que sua demanda, provocando desemprego involuntário (ou seja, algumas pessoas querem trabalhar por esse salário, mas as empresas não irão contratá-las). Esse desemprego promove uma pressão para que o salário se reduza até o ponto de equilíbrio.

Fenômeno similar acontece para um nível de salário menor que o de equilíbrio. Nesse caso, a demanda por trabalho é maior que sua oferta. Para obter mais trabalhadores, as firmas competitivas aumentam o salário até seu ponto de equilíbrio. Portanto, podemos concluir que (W^*,L^*) é o único ponto de equilíbrio desse mercado.

Nesse ponto de equilíbrio, a alocação dos recursos é eficiente no sentido de Pareto: o valor do produto marginal do fator trabalho é igual ao seu custo marginal. Além disso, não há desemprego involuntário: quem está fora do mercado não quer trabalhar pelo salário de equilíbrio.

Atenção

É importante relembrar que obtivemos esse resultado em um contexto de mercado perfeitamente competitivo.

Devemos destacar que deslocamentos das curvas de demanda e oferta alteram o equilíbrio do mercado. Por exemplo, caso a curva de demanda pelo fator se desloque para a direita, no novo equilíbrio haverá maior quantidade de horas trabalhadas com maior salário.

O equilíbrio no mercado de trabalho é apenas um exemplo de equilíbrio em um mercado de fator específico. No entanto, do mesmo modo que no mercado de trabalho, o equilíbrio no mercado de outros insumos produtivos também ocorre no ponto em que a demanda pelo fator é igual à sua oferta.

Verificando o aprendizado

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MÓDULO 2

Descrever o equilíbrio no mercado de fatores de produção em um contexto de competição imperfeita

MERCADO DE FATORES COM PODER DE MONOPSÔNIO

No módulo 1, analisamos o caso em que a firma se defronta com mercados competitivos tanto do produto final quanto dos fatores de produção. No entanto, em muitas situações, as firmas têm algum poder de influenciar preços, pelo menos em um desses dois mercados.

Destacaremos, inicialmente, as situações em que as firmas não são tomadoras de preços para os insumos que elas compram. Isto é, a firma demandante de insumos tem algum poder de mercado sobre o fator produtivo. Sua demanda é capaz de alterar o preço do próprio insumo. Analisaremos o caso mais extremo em que há apenas uma empresa compradora de determinado fator de produção, estrutura de mercado conhecida como monopsônio.

Veja um exemplo:

Imagine, por exemplo, uma fábrica que se instale em uma região isolada, na qual se desenvolve uma pequena vila, onde moram os trabalhadores: essa fábrica, única contratante de mão de obra, é um monopsônio.

Para simplificar, suponha que a empresa monopsonista venda seu produto final em um mercado competitivo. Portanto, a firma tem poder de monopólio sobre o mercado de fatores, mas não sobre o mercado de bem final. Além disso, também considere que a firma utilize apenas um fator de produção em seu processo produtivo, digamos que apenas trabalho, com uma função de produção f(l).

Ao contrário do módulo 1, agora a firma tem poder de mercado sobre o fator de produção, portanto, a quantidade demandada de trabalho impacta seu preço. A curva de oferta inversa do trabalho será uma função crescente do tipo w(l), em que quanto maior for a quantidade de mão de obra l demandada pela empresa, maior terá de ser o salário.

Curva de oferta inversa do trabalho

É inversa porque escrevemos o salário como função da quantidade ofertada de trabalho, em vez de escrever essa quantidade como função do salário.

Relembrando

No mercado competitivo de fatores, que já analisamos, o preço do fator de produção era fixo, independentemente da quantidade demandada pela firma. Ou seja, a firma se defrontava com uma curva de oferta de fatores plana. Agora, a empresa monopsonista se defrontará com uma curva de oferta positivamente inclinada: para contratar mais, a firma terá de pagar maiores salários.

O problema de maximização de lucro da firma que é competitiva em seu mercado de produto e monopsonista em seu mercado de fatores pode ser escrito como:

$\max_{l} p f (l) - w (l) l$

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Assim, a decisão de maximização de lucro da firma resume-se à escolha da quantidade do fator trabalho, l, que dará o maior lucro possível. Pela condição de primeira ordem do problema de maximização de lucro da firma, temos:

$\frac{\partial π}{\partial l} = p \frac{d f (l)}{d l} - w (l) - \frac{d w (l)}{d l} l = 0$

$p \frac{d f (l)}{d l} = w (l) + \frac{d w (l)}{d l} l$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Perceba que, do lado esquerdo da igualdade, nós temos o valor do produto marginal do trabalho, ou a receita do produto marginal trabalho. Ela mede a receita adicional obtida pela empresa pela utilização de uma unidade extra do insumo.

A receita do produto marginal também pode ser entendida pela multiplicação entre a receita marginal (originada pelo aumento da produção) e o produto marginal (causado pelo aumento no uso do insumo). No entanto, como estamos em um mercado competitivo de produto final, a receita marginal é simplesmente o preço do bem.

Já do lado direito da igualdade, temos o custo marginal. Se, no mercado competitivo de fatores, o custo marginal é simplesmente o preço do insumo, para a firma monopsonista tal custo terá dois componentes: o próprio custo do fator, e além disso a variação nesse custo provocada pelo aumento da demanda do fator aplicado à totalidade dos fatores utilizados pela firma. Observe que o último componente só existe porque a demanda da firma afeta o preço do fator de produção – ou seja, porque a firma é monopsonista.

Atenção

Isso é semelhante ao que temos para um monopólio. A receita marginal da firma competitiva é apenas o preço de mercado, mas para uma firma monopolista é necessário acrescentar o impacto da escolha da firma sobre esse preço.

Para maximizar seu lucro, a firma monopsonista irá adquirir o fator trabalho até o ponto em que a receita do produto marginal se iguale ao custo marginal. Isto é, o ponto ótimo de demanda de insumo é aquele em que a receita adicional obtida com a contratação de uma unidade extra do fator de produção é igual ao custo adicional de se adquirir essa unidade.

Se a receita do produto marginal do trabalho fosse maior que seu custo marginal, a empresa conseguiria aumentar seus lucros ampliando a quantidade de trabalho contratada.

Se a receita do produto marginal do trabalho fosse menor que seu custo marginal, a empresa aumentaria seu lucro ao reduzir a quantidade de trabalho demandada

O único ponto de equilíbrio é aquele em que a receita do produto marginal do fator de produção (ou o valor do produto marginal do fator de produção) é igual ao custo marginal de aquisição.

É possível, também, apresentar a condição de maximização de lucro da firma monopsonista com relação à elasticidade da oferta do fator. Colocando w(l) em evidência no lado direito da última igualdade, obtemos:

$p \frac{d f (l)}{d l} = w (l) [1 + \frac{l}{w (l)} \frac{d w (l)}{d l}]$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Definindo a elasticidade de oferta do fator como µ(l) = (w/l)×(dl/dw(l)), podemos reescrever como:

$p \frac{d f (l)}{d l} = w (l) [1 + \frac{1}{µ (l)}]$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Apenas reescrevendo $\frac{d f (l)}{d l} = {P M g}_{l}$ , ficamos com:

$p {P M g}_{l} = w (l) [1 + \frac{1}{µ (l)}]$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Perceba que para curvas de oferta de fatores perfeitamente elásticas, ou seja, µ(l)→∞, retornaremos ao caso de mercado de fatores perfeitamente competitivos em que o custo marginal do fator de produção é basicamente seu preço.

No caso de monopsônio, a curva de oferta é ascendente; logo, a elasticidade de oferta do fator é positiva, implicando que, neste caso, o custo marginal de empregar uma unidade extra do fator produtivo é maior que seu preço. Assim, a firma monopsonista escolhe contratar menos fatores de produção do que faria se estivesse em um mercado competitivo de fatores.

A relação entre o equilíbrio para a empresa com poder de monopsônio e aquela que se defronta com um mercado competitivo de fatores pode ser mais bem explicitada nas figuras a seguir:

Para o mercado de fatores competitivo, a firma se defronta com uma curva de oferta de fator infinitamente elástica. Para a quantidade demanda de trabalho de equilíbrio (L_c), a receita do produto marginal (pPMg_l) é igual ao custo marginal do fator, que é exatamente seu preço (CMg_l = W_c).

Já a firma monopsonista se defronta com uma curva de oferta ascendente.

Em equilíbrio monopsônico no mercado de fatores, a empresa demanda a quantidade do insumo L_m para igualar a receita do produto marginal (pPMg_l) ao custo marginal (CMg_l). No entanto, agora, o custo marginal não é igual ao preço do fator de produção.

Definida a quantidade demandada de insumos (L_m), é a curva de oferta de fator que determina o preço de equilíbrio (W_m). Como o custo marginal de empregar uma unidade extra do fator excede seu preço, a empresa opera em um ponto em que pouco fator de produção é empregado quando comparado ao caso competitivo. No fim, o ponto de equilíbrio da empresa monopsonista tem menor demanda pelo fator e menores preços de fatores em relação ao mercado competitivo.

Assim, podemos dizer que o monopsonista opera em um ponto ineficiente no sentido de Pareto. Em equilíbrio, há perda econômica na transação entre as partes: é possível melhorar a situação das empresas demandantes e ofertantes de insumo, sem piorar a situação de ninguém.

Um exemplo interessante sobre os modelos de monopsônio é introduzido por Varian (2012), em que o governo estabelece um salário-mínimo no mercado de trabalho. Caso o mercado de trabalho seja competitivo, a introdução de um salário-mínimo que seja maior que o salário de equilíbrio vigente fará com que a oferta de trabalho seja maior que a demanda, provocando maior desemprego.

No entanto, caso esse mercado de trabalho seja dominado por uma firma monopsonista, então, é possível que a introdução de um salário-mínimo aumente o nível de emprego da economia.

Por exemplo, se o governo impõe um salário-mínimo igual ao que prevalecia no mercado competitivo, percebendo que o salário não é mais função do número de trabalhadores contratados, a empresa monopsonista irá empregar até o ponto em que a receita do produto marginal se iguale ao salário-mínimo. Portanto, contratará o mesmo número de empregados que no caso competitivo. O estabelecimento de um piso salarial pelo governo obriga a empresa do mercado monopsônico a se comportar como se estivesse em um mercado competitivo.

Esse exemplo é extremante importante – tanto pelo aspecto teórico quanto por suas implicações. Pelo lado teórico, fica claro que a estrutura de mercado afeta de maneira decisiva as características do equilíbrio econômico – em particular, se é eficiente de Pareto ou não. Para a política pública, vemos que é possível obter conclusões opostas sobre uma política pública extremamente importante (o salário-mínimo), a depender dessa estrutura.

Vamos concluir com uma ilustração simples. A função de produção de uma firma é dada por y = 10L, em que L é a quantidade de trabalho. O bem final é vendido por $6 em um mercado competitivo. Porém, essa firma é monopsonista no mercado de trabalho, em que enfrenta uma curva de oferta dada por w(L) = 2L², em que w é o salário.

Para encontrar a quantidade de trabalho contratada pela firma, maximizamos seu lucro, dado por:

$π = 6 y - w \times L = 6 \times 10 L - (2 L^{2}) \times L = 60 L - 2 L^{3}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

A condição de primeira ordem para trabalho é:

$60 - 6 L^{2} = 0$

$L = \sqrt{10}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Agora que já analisamos um mercado de fatores com poder de monopsônio, podemos nos indagar sobre a origem das empresas monopsonistas. As razões para a existência desse tipo de poder de mercado são as mais variadas, como, por exemplo:

Uma empresa que demande um insumo produtivo do qual nenhuma outra firma necessita passa a atuar de forma monopsonista nesse mercado de fator.

Questões de localização geográfica: grandes firmas empregadoras em determinada região podem ter poder de monopsônio no mercado de trabalho regional.

Governos podem ter poder de monopsônio no mercado de equipamentos militares muito especializados.

Esses exemplos citados salientam que mercados de fatores com poder de monopsônio são muito mais recorrentes do que aparentam ser em uma primeira análise.

Observe ainda que, assim como no caso de monopólio, há graus de relevância do monopsônio: talvez a empresa não seja a única compradora de um produto, mas é o principal comprador, e, portanto, sua demanda afeta o preço de mercado – isso já é suficiente para obtermos os resultados que estudamos.

No vídeo abaixo, vamos resolver um exercício para encontrar o equilíbrio no mercado de fatores quando há um monopsônio

MERCADO DE FATORES COM PODER DE MONOPÓLIO

Além do caso de um único demandante, pode haver o caso da existência de um único ofertante. Vamos estudar as consequências da presença do poder de monopólio sobre o mercado de fatores para duas situações distintas, em que a empresa é monopolista no mercado de:

Produto final.
Fatores.

Qual será a consequência desse poder de mercado para a demanda e a oferta de fatores?

Monopólio no mercado do produto final

Analisemos inicialmente o caso em que a firma é monopolista no mercado do bem final. Isto é, a empresa tem poder de monopólio sobre o bem que produz.

Será que a existência desse poder de monopólio altera o comportamento da firma no mercado de fatores?

Considere uma firma com poder de monopólio no mercado de bem final e operando em um mercado de fatores competitivo. A função de produção da empresa só utiliza o fator de produção trabalho: y = f(l). O preço do insumo trabalho é o salário, w, e o preço de mercado depende da quantidade produzida pela firma de acordo com a função de demanda inversa p(y) = p(f(l)). O problema da firma monopolista é:

$\max_{l} p (y) f (l) - w l$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Aplicando as regras do produto e da cadeia da derivação, obtemos a condição de primeira ordem:

$\frac{\partial π}{\partial l} = p (y) \frac{d f (l)}{d l} + \frac{d p (y)}{d y} \frac{d f (l)}{d l} f (l) - w = 0$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Rearrumando de modo a termos a derivada da função de produção em relação ao insumo em evidência, obtemos:

$[p (y) + \frac{d p (y)}{d y} f (l)] \frac{d f (l)}{d l} = w$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Ou ainda, como y = f(l) e alterando os símbolos de derivação, podemos reescrever a condição de otimização da firma monopolista de forma mais limpa:

Clique nas letras destacadas abaixo. Objeto com interação.

Receita marginal do monopolista

Representa a receita adicional decorrente de uma unidade adicional do produto vendido.

Produto marginal do fator trabalho

Representa a produção adicional obtida com uma unidade adicional de mão de obra.

O produto entre esses dois termos fornece o valor do produto marginal do trabalho ou a receita do produto marginal do fator trabalho, que mede a receita adicional resultante da venda da produção criada pelo emprego de uma unidade adicional do insumo produtivo.

Note que, para uma firma competitiva no mercado do produto final, a receita marginal é o próprio preço do bem, pois $p^{'} (y) = 0$ (a empresa competitiva não influencia preços). No entanto, para uma empresa monopolista, a receita marginal tem dois componentes:

O aumento da receita oriundo da quantidade adicional do bem vendido (para cada unidade a mais, é simplesmente o preço p(y)).

Ao ofertar mais produto no mercado, o preço cai em toda a produção vendida, causando uma variação da receita igual a p′(y)y: ou seja, perde-se p′(y) (a variação de preço causada pela mudança na produção) para cada uma das y unidades vendidas.

Para o monopolista, a receita marginal é menor que o preço de equilíbrio. Por fim, do lado direito da condição de otimização, temos o custo marginal de se empregar uma unidade adicional do fator trabalho. Como o mercado de fatores é competitivo, o custo marginal de se adquirir a unidade adicional do fator de produção é igual ao seu preço, w. Em equilíbrio, a empresa demanda uma quantidade de trabalho que iguale a receita do produto marginal do fator trabalho ao seu custo marginal.

A maneira mais clara de compararmos o equilíbrio no mercado de fatores para firmas competitivas e monopolistas é reescrevendo a receita do produto marginal em função da elasticidade-preço da demanda.

Sendo RPMg_l a receita do produto marginal do fator trabalho, podemos escrever:

${R P M g}_{l} = [p (y) + p^{'} (y) y] f' (l)$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Como f’(l) é o produto marginal do fator trabalho (PMg_l), temos:

${R P M g}_{l} = [p (y) + p^{'} (y) y] {P M g}_{l}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Colocando o preço em evidência e utilizando outro símbolo para denotar a derivada:

${R P M g}_{l} = p (y) [1 + \frac{d p (y)}{d y} \frac{y}{p (y)}] {P M g}_{l}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Definindo ε(q) = (dy/dy(y))(p(y)/y) como a elasticidade-preço demanda, a receita do produto marginal do trabalho resume-se a:

${R P M g}_{l} = p (y) [1 + \frac{1}{ε (y)}] {P M g}_{l}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Como a elasticidade é negativa, podemos reescrever a equação como:

${R P M g}_{l} = p (y) [1 - \frac{1}{| ε (y) |}] {P M g}_{l}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Com essa expressão, fica mais fácil entender a solução da firma monopolista; e podemos compará-la com o comportamento da firma competitiva.

Atenção

Lembre-se de que, para a firma competitiva, a receita marginal é igual ao próprio preço do bem final. Assim, a receita do produto marginal do fator de produção é a multiplicação entre o preço do bem final e o produto marginal desse mesmo insumo.

Esse é o caso se a firma se defrontar com uma elasticidade da curva de demanda infinita, ε(y)→∞ (curva de demanda pelo bem final é completamente elástica, horizontal), implicando pela expressão anterior que a receita marginal é igual ao preço, e, portanto, RPMg_l = pPMg_l.

Já no caso da firma monopolista, como a curva de demanda tem inclinação negativa, a receita marginal é menor que o preço, implicando que:

${R P M g}_{l} = p [1 - \frac{1}{| ε (y) |}] {P M g}_{l} < p {P M g}_{l}$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Portanto, o emprego de uma unidade extra do fator trabalho gera uma receita adicional menor para o monopolista do que para a firma competitiva. Assim, para maximizar seus lucros, o monopolista decide operar em um ponto de menor demanda de insumos que a firma competitiva. Em equilíbrio, as empresas competitivas e monopolistas decidem empregar a quantidade de fator de produção que iguala a receita do produto marginal ao custo marginal. No caso particular do fator trabalho, temos que em equilíbrio a firma competitiva opera no ponto em que:

$p {P M g}_{l} = w$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Já a condição de equilíbrio da firma monopolista é:

$p [1 - \frac{1}{| ε (q) |}] {P M g}_{l} = w$

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Como sabemos que $p [1 - \frac{1}{| ε (y) |}] \leq p$ , a quantidade demandada do fator trabalho é menor para a firma monopolista do que para a firma competitiva, como fica claro pela figura a seguir:

Isto é, ao custo marginal do fator trabalho, w, a firma monopolista demanda uma quantidade menor do fator de produção do que a firma competitiva (L_m < L_c), uma vez que a receita do produto marginal da última é menor do que da primeira.

É importante perceber que tanto para a firma monopsonista quanto para a monopolista, a curva de demanda de fatores é negativamente inclinada e dada pela receita do produto marginal do fator de produção. Assim, aumentos dos preços dos insumos estão associados a demandas menores pelo insumo. Esse é o mesmo resultado que já havíamos obtido para a firma competitiva.

No entanto, o que muda é que, com a existência de poder de mercado (seja do monopsonista ou do monopolista), as firmas empregam uma quantidade menor de fatores de produção quando comparadas com as firmas competitivas. O poder de mercado faz com que as firmas operem em um ponto ineficiente no sentido de Pareto no mercado do produto final (monopolistas) ou no mercado de fatores (monopsonista).

Clique nas barras para ver as informações. Objeto com interação.

Vamos ilustrar com um exemplo simples.

Uma empresa é monopolista no mercado de bens finais, com demanda p(y) = 20 – 2y. Ela utiliza apenas um insumo, trabalho, de acordo com a função de produção $y = f (l) = \sqrt{l}$ . Suponha que o salário seja constante, igual a um. Para obter a demanda por trabalho da firma, devemos resolver seu problema de maximização de lucro, dado por:

$π = p (y) y - w l = (20 - 2 y) y - (1 \times l) = (20 - 2 \sqrt{l}) \sqrt{l} - l = 20 \sqrt{l} - 2 l - l = 20 \sqrt{l} - 3 l$

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A condição de primeira ordem em relação a l é:

$20 \frac{1}{2 \sqrt{l}} - 3 = 0$

Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal

Rearranjando, obtemos $3 \sqrt{l} = 10$ , portanto, l=10/3.

Monopólio no mercado de fatores

Até agora consideramos que a empresa tem poder de monopólio sobre o mercado do bem final, enquanto o mercado de fatores é competitivo. No entanto, também poderíamos pensar no caso em que a firma é monopolista no próprio mercado de fatores. Isto é, a firma é a única vendedora de determinado fator de produção para as outras empresas.

Uma firma com poder de monopólio sobre um fator de produção em particular age como qualquer outra firma monopolista. Em equilíbrio, ela escolhe produzir e vender a quantidade do fator que faça a receita marginal ser igual ao custo marginal de produção. Definida a quantidade de equilíbrio produzida, a curva de demanda pelo fator determina o seu preço de equilíbrio.

Como a firma monopolista opera em uma área em que o preço do insumo produtivo é maior que seu custo marginal de produção, ela produz menos do que no mercado competitivo. Na figura acima, mostramos que para a firma monopolista a oferta do insumo será y^*, menor do que a quantidade produzida do equilíbrio competitivo (y^c). Além disso, o preço de equilíbrio do mercado monopolista será maior do que do mercado competitivo: p^* > p^c.

Exemplo

Considere um exemplo simples, em que uma firma é monopolista na produção de um insumo cuja demanda é dada por p(y) = 420 – y (y é a quantidade do fator de produção). Suponha que a função custo da firma seja dada por c(y) = 10 + 2y². Para obter a oferta desse insumo, basta resolver o problema da firma monopolista, que maximiza o lucro

$π = p (y) y - c (y) = (400 - y) y - (10 + 2 y^{2})$

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A condição de primeira ordem é 420-2y-4y=0, e portanto, y=70. Se essa firma se comportasse de forma competitiva, igualaria o preço ao custo marginal: 420-y=4y, e, portanto, y=84

Podemos concluir que a oferta de fatores é menor em um mercado em que a firma produtora do insumo é monopolista do que no mercado de fatores competitivo. Assim, a existência de poder de mercado, além de impactar a demanda de fatores do mercado (monopsônio no mercado de fatores ou monopólio no mercado do produto), também pode alterar a oferta de fatores (monopólio no mercado de fatores) causando resultados ineficientes no sentido de Pareto.

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Conclusão

Considerações Finais

Neste tema, analisamos os mercados de fatores de produção, isto é, os mercados de compra e venda de insumos produtivos entre empresas (ou entre empresas e trabalhadores). O equilíbrio no mercado de fatores ocorre pelo encontro das curvas de demanda e oferta de insumos. Enquanto a curva de demanda de fatores é negativamente inclinada, a curva de oferta tem inclinação positiva em relação aos preços dos fatores. Em equilíbrio competitivo, a alocação dos fatores é eficiente no sentido de Pareto.

No entanto, nem sempre o mercado de fatores é competitivo. Em inúmeras situações, as empresas possuem poder de monopsônio no mercado de fatores ou poder de monopólio (seja no mercado do produto final ou no mercado de fatores). A presença de poder de mercado tem como principal implicação reduzir a quantidade de insumos transacionada. Enquanto empresas monopsonistas no mercado de fatores e monopolistas no mercado do produto final demandam menos fatores do que as empresas competitivas, as firmas monopolistas no mercado de fatores ofertam menos insumos. No fim, temos uma alocação de insumos ineficiente no sentido de Pareto.

Podcast

Ouça agora o podcast sobre o poder do monopsônio e salário-mínimo:

CONQUISTAS

Você atingiu os seguintes objetivos:

Descreveu o equilíbrio no mercado de fatores de produção em um contexto de competição perfeita

Descreveu o equilíbrio no mercado de fatores de produção em um contexto de competição imperfeita

Referências

NICHOLSON, Walter. Intermediate microeconomics and its application. Mason, Ohio: Thomson South-Western, 2004.

NICHOLSON, Walter; SNYDER, Christopher M. Microeconomic theory: Basic principles and extensions. 11. ed. Boston: Cengage Learning, 2012.

VARIAN, Hal R. Microeconomia: uma Abordagem Moderna. 8. ed. Rio de Janeiro: Elsevier-Campus, 2012.

Explore+

Para uma abordagem aprofundada da microeconomia moderna, leia Advanced Microeconomic Theory, de Geoffrey A. Jehle e Philip John Reny.

O livro A Course in Microeconomic Theory, de David M. Kreps, é um texto sobre microeconomia entendido por iniciantes e de interesse para estudantes mais avançados.

Em Princípios de Microeconomia, N. G. Mankiw introduz temas da economia utilizando ferramentas de aprendizagem. Na 6ª edição, houve inserção e revisão de conceitos.

Microeconomic Theory, de Andreu Mas-Colell et al., faz uma análise aprofundada dos fundamentos da microeconomia.

Microeconomia, de Robert S. Pindyck, Daniel L. Rubinfeld, traz muitos exemplos para explicar a temática. Da editora Pearson, 2013.

Conteudista

Pedro Américo de Almeida Ferreira

Currículo Lattes

Descrição

PROPÓSITO

OBJETIVOS

Módulo 1

Módulo 2

Introdução

MÓDULO 1

DEMANDA POR FATORES DE PRODUÇÃO

maxk,l pfk,l−rk−wl

Condições de primeira ordem

∂π∂k=p∂f(k,l)∂k−r=0

∂π∂l=p∂f(k,l)∂l−w=0

p∂fk,l∂k=r

p∂fk,l∂l=w

pPMgk=r

pPMgl=w

maxk,lpkαlβ−rk−wl

∂π∂k=pαkα−1lβ−r=0

∂π∂l=pβkαlβ−1−w=0

pαkαlβ−rk=0

pβkαlβ−wl=0

pαy=rk

pβy=wl

k∗=αpyr

l∗=βpyw

y=αpyrαβpywβ

y=yα+βαprαβpwβ

yyα+β=αprαβpwβ

y1−α−β=αprαβpwβ

y=αprα1−α−ββpwβ1−α−β

k∗=αpyr=αprαprα1−α−ββpwβ1−α−β

l∗=βpyw=βpwαprα1−α−ββpwβ1−α−β

k∗=αpr1−β1−α−ββpwβ1−α−β

l∗=αprα1−α−ββpw1−α1−α−β

Atenção

Um fator de produção (curto prazo)

pPMgl=w

PMgl=wp

Vamos entender melhor.

π=pfl−wl

fl=πp+wpl

Qual é o impacto do aumento do preço do bem final sobre a demanda de fatores?

Dois fatores de produção (longo prazo)

OFERTA DE FATORES DE PRODUÇÃO

Saiba mais

EQUILÍBRIO no MERCADO DE FATORES COMPETITIVO

Atenção

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MÓDULO 2

MERCADO DE FATORES COM PODER DE MONOPSÔNIO

Curva de oferta inversa do trabalho

Relembrando

maxl pfl−w(l)l

∂π∂l=pdf(l)dl−wl−dw(l)dll=0

pdf(l)dl=wl+dw(l)dll

Atenção

pdf(l)dl=wl1+lw(l)dw(l)dl

pdf(l)dl=wl1+1µ(l)

pPMgl=wl1+1µ(l)

π=6y−w×L=6×10L−2L2×L=60L−2L3

60−6L2=0

L=10

MERCADO DE FATORES COM PODER DE MONOPÓLIO

Qual será a consequência desse poder de mercado para a demanda e a oferta de fatores?

Monopólio no mercado do produto final

maxl p(y)fl−wl

∂π∂l=pydfldl+dpydydfldlfl−w=0

py+dpydyfldfldl=w

Receita marginal do monopolista

Produto marginal do fator trabalho

RPMgl=py+p'yyf'(l)

RPMgl=py+p'yyPMgl

RPMgl=p(y)1+dpydyyp(y)PMgl

RPMgl=p(y)1+1ε(y)PMgl

RPMgl=p(y)1−1|εy|PMgl

Atenção

RPMgl=p1−1|εy|PMgl<pPMgl

$\max_{k, l} p f (k, l) - r k - w l$

$\frac{\partial π}{\partial k} = p \frac{\partial f (k, l)}{\partial k} - r = 0$

$\frac{\partial π}{\partial l} = p \frac{\partial f (k, l)}{\partial l} - w = 0$

$p \frac{\partial f (k, l)}{\partial k} = r$

$p \frac{\partial f (k, l)}{\partial l} = w$

$p {P M g}_{k} = r$

$p {P M g}_{l} = w$

$\max_{k, l} p k^{α} l^{β} - r k - w l$

$\frac{\partial π}{\partial k} = p α k^{α - 1} l^{β} - r = 0$

$\frac{\partial π}{\partial l} = p β k^{α} l^{β - 1} - w = 0$

$p α k^{α} l^{β} - r k = 0$

$p β k^{α} l^{β} - w l = 0$

$p α y = r k$

$p β y = w l$

$k^{*} = \frac{α p y}{r}$

$l^{*} = \frac{β p y}{w}$

$y = {(\frac{α p y}{r})}^{α} {(\frac{β p y}{w})}^{β}$

$y = y^{α + β} {(\frac{α p}{r})}^{α} {(\frac{β p}{w})}^{β}$

$\frac{y}{y^{α + β}} = {(\frac{α p}{r})}^{α} {(\frac{β p}{w})}^{β}$

$y^{1 - α - β} = {(\frac{α p}{r})}^{α} {(\frac{β p}{w})}^{β}$

$y = {(\frac{α p}{r})}^{\frac{α}{1 - α - β}} {(\frac{β p}{w})}^{\frac{β}{1 - α - β}}$

$k^{*} = \frac{α p y}{r} = \frac{α p}{r} ({(\frac{α p}{r})}^{\frac{α}{1 - α - β}} {(\frac{β p}{w})}^{\frac{β}{1 - α - β}})$

$l^{*} = \frac{β p y}{w} = \frac{β p}{w} ({(\frac{α p}{r})}^{\frac{α}{1 - α - β}} {(\frac{β p}{w})}^{\frac{β}{1 - α - β}})$

$k^{*} = {(\frac{α p}{r})}^{\frac{1 - β}{1 - α - β}} {(\frac{β p}{w})}^{\frac{β}{1 - α - β}}$

$l^{*} = {(\frac{α p}{r})}^{\frac{α}{1 - α - β}} {(\frac{β p}{w})}^{\frac{1 - α}{1 - α - β}}$

$p {P M g}_{l} = w$

${P M g}_{l} = \frac{w}{p}$

$π = p f (l) - w l$

$f (l) = \frac{π}{p} + \frac{w}{p} l$

$\max_{l} p f (l) - w (l) l$

$\frac{\partial π}{\partial l} = p \frac{d f (l)}{d l} - w (l) - \frac{d w (l)}{d l} l = 0$

$p \frac{d f (l)}{d l} = w (l) + \frac{d w (l)}{d l} l$

$p \frac{d f (l)}{d l} = w (l) [1 + \frac{l}{w (l)} \frac{d w (l)}{d l}]$

$p \frac{d f (l)}{d l} = w (l) [1 + \frac{1}{µ (l)}]$

$p {P M g}_{l} = w (l) [1 + \frac{1}{µ (l)}]$

$π = 6 y - w \times L = 6 \times 10 L - (2 L^{2}) \times L = 60 L - 2 L^{3}$

$60 - 6 L^{2} = 0$

$L = \sqrt{10}$

$\max_{l} p (y) f (l) - w l$

$\frac{\partial π}{\partial l} = p (y) \frac{d f (l)}{d l} + \frac{d p (y)}{d y} \frac{d f (l)}{d l} f (l) - w = 0$

$[p (y) + \frac{d p (y)}{d y} f (l)] \frac{d f (l)}{d l} = w$

${R P M g}_{l} = [p (y) + p^{'} (y) y] f' (l)$

${R P M g}_{l} = [p (y) + p^{'} (y) y] {P M g}_{l}$

${R P M g}_{l} = p (y) [1 + \frac{d p (y)}{d y} \frac{y}{p (y)}] {P M g}_{l}$

${R P M g}_{l} = p (y) [1 + \frac{1}{ε (y)}] {P M g}_{l}$

${R P M g}_{l} = p (y) [1 - \frac{1}{| ε (y) |}] {P M g}_{l}$

${R P M g}_{l} = p [1 - \frac{1}{| ε (y) |}] {P M g}_{l} < p {P M g}_{l}$

$p {P M g}_{l} = w$

$p [1 - \frac{1}{| ε (q) |}] {P M g}_{l} = w$

$π = p (y) y - w l = (20 - 2 y) y - (1 \times l) = (20 - 2 \sqrt{l}) \sqrt{l} - l = 20 \sqrt{l} - 2 l - l = 20 \sqrt{l} - 3 l$

$20 \frac{1}{2 \sqrt{l}} - 3 = 0$

$π = p (y) y - c (y) = (400 - y) y - (10 + 2 y^{2})$