Os tempos medievais eram o marco do fim de um mundo ideal e a espera da chegada de um novo mundo de avanços. Tempos médios, mornos e de pouco desenvolvimento.

Esta noção, dos Iluministas, foi revista no século XIX, mas por idealizações literárias. A intelectualidade medieval ficou presa em um período de atraso (ou desenvolvimento) pela religião cristã.

Observe o mapa a seguir:

O mundo europeu é relativamente pequeno perto da imensidão do mundo muçulmano. O cristianismo é uma religião importante, bem como sua matriz de pensamento, porém a Idade Média é a integração entre essas duas religiões e muitas outras. A imagem de um mundo fragmentado pela religião é falsa. O mundo real, inclusive no medievo, é cheio de trocas e relações.

A maior parte dos historiadores situa o início da Idade Média no século V, quando o Império Romano do Ocidente e sua sede romana deixam de existir. No seu lugar, uma série de reinos chamados de bárbaros (novos senhores não romanos) passam a fragmentar os territórios da Europa.

Os historiadores entendem seu fim nos movimentos de intensificação da peste e do crescimento dos pesos do Estado monárquico, situando-o entre o século XV e o XVI.

Fases da Idade Média

Didaticamente, a Idade Média na Europa Medieval é dividida em períodos nos quais novos fatores, em sua maioria econômicos, apareceram e mudaram as relações vividas. Acompanhe a linha do tempo a seguir:

As fases da Idade Média não devem ser entendidas de forma dura. Note que é uma visão ocidental, europeia, e cada um desses momentos variava regionalmente. A lógica de lidar com este período como algo único não tem sentido no todo. O que podemos fazer, proposta deste tema, é reconhecer o período e suas variações de forma constante.

As fases medievais mudam se a Geografia muda. Veja algumas diferenças:

Estes traços visam somente situar as relações estabelecidas e a complexidade de suas estruturas na chamada “Idade Média”.

O casamento da cultura clássica e a religião

Durante a Idade Média, a relação da história com a matemática é situada dentro de uma estrutura educacional maior, a qual chamamos de Sete Artes Liberais.

É fundamental destacar que a educação é fator social e servia para os membros da Igreja formarem seus quadros para as pregações às pessoas, bem como para formar e educar reis.

A resposta de Liciniano é pessimista, afirmando que naquela conjuntura era praticamente impossível contar com bons quadros, pois a falta de erudição dos bispos era um dos grandes problemas a serem enfrentados.

Menos de um século depois, as trocas de cartas nos revelam conhecimentos de livros, das Sete Artes Liberais, de grande conjunto de escritos produzidos no âmbito visigodo, e de ampla rede de relações em que era valorizada, entre outros aspectos, a erudição dos bispos em diversas ocasiões.

Nossa tarefa é entender como os preceitos que teoricamente estariam direcionados somente aos espaços formais de escolaridade (escolas) estão presentes nas disputas episcopais.

A seguir, exemplificaremos duas obras que têm muito a dizer nesse sentido:

Ao compararmos com a educação do período seguinte, utilizando como exemplo Gregório Magno, verificamos que a preocupação era formar uma linha de continuidade da Cristandade, em que um passa a ser responsável pelo outro, buscando em Agostinho o papel de conduzir sua organização.

Por exemplo, a relação mestre-discipular (PEREIRA, 1980) se vale de maneira muita mais intensa da figura da auctoritas (autoridade, prestígio social). A auctoritas natural reside, sobretudo, na virtus (virtude).

A partir da definição e do reconhecimento da figura da auctoritas, a preocupação com a educação, entre outros elementos, valoriza a figura do mestre, dá-lhe legitimidade, reconhecimento, e garante àqueles com os quais se relacionam, seus discípulos, um papel singular.

Quadrivium

As Sete Artes Liberais podem ser divididas em duas categorias:

Sua organização se faz presente nas enciclopédias latinas dos séculos V e VI.

Estas matérias, entretanto, existem como fonte de estudos desde o período helenístico, entre os séculos VIII - III a.C, senão antes, como é o caso dos desenvolvimentos matemáticos no Egito e Mesopotâmia.

Na adaptação medieval, ou melhor, eclesiástica ao tema, notamos uma predileção pelo estudo do Trivium. Contudo, isto não implicava no desconhecimento das ciências técnicas ou a sua não aplicabilidade ao período medieval. A propósito, nas Etimologias (primeira enciclopédia da cultura ocidental escrita por Isidoro de Sevilha, 560 - 636), existe um livro inteiro sobre matemática. Neste é destacada a importância, por exemplo, da música nos ofícios eclesiásticos.

A sistematização destas artes (WAGNER, 1986) ganhou forma e organização a partir da referência formulada no livro de Martianus Capella, O casamento da Filosofia e Mercúrio. Esta obra reúne dois livros, o primeiro devotado ao conhecimento do sagrado e, o segundo, às sete artes liberais.

A difusão dessa matéria se deve, no entanto, a Cassiodoro (escritor romano, 4090-581 d.C), que divulga as Sete Artes Liberais como fundamental componente para uma educação cristã.

O livro III, apesar de fazer referência à ordem das sete artes liberais propostas por Cassiodoro, apresenta uma preocupação distinta por parte de Isidoro de Sevilha. Neste livro são diminuídas as considerações sobre analogias sociais e aumentam as explicações sobre a Scientia da matemática e suas disciplinas.

Isidoro trata Quadrivium como algo único, sem constituí-lo nominalmente, apesar de criar um grande bloco que reúne as quatro disciplinas.

Em seu livro, Isidoro tratará a música como um importante componente na formação do Homem, pois forma o orador e aplaca os ânimos, ainda que tenha outras funções:

A aritmética é o olhar pleno para os números, tem uma relação direta com sua representação e operação. Sua formulação em Isidoro de Sevilha é de que os números são simbólicos e têm funções que exigem parcimônia de sua compreensão. Esta formação era fundamental e tinham diferentes utilizações a depender dos reinos, conforme explicado a seguir:

Enquanto isso, a controversa astronomia se misturava com a Geografia e apontava para compreensões que eram muito discursivas e mitológicas, pouquíssimo vinculadas aos estudos materializados sobre a astronomia como a conhecemos. Naquela época, a astronomia era tratada por observadores e curiosos com reflexões embebidas de valores religiosos.

A geometria euclidiana passava sem avanços, ainda que importante, uma vez que os fatores técnicos passam a ser cada vez mais intensos nos debates.

Renascimento urbano

O período entre o século X e o XIII vai modificar a história da educação medieval e, principalmente, a história da matemática ocidental. A junção de fatores é extensa, mas vamos resumir:

Este conjunto de eventos nos ajuda a compreender as mudanças do século em termos de educação e sociedade. Resumindo: novas culturas circulando com homens que vão desde o norte da Europa, passam por Ásia, África e aprendem novas linguagens, desafios e culturas.

Depois do Império de Carlos Magno – que nunca foi um novo Império romano –, os poderes locais ganharam força, mas, ao mesmo tempo, lenta e continuamente, foram ampliadas as circulações, mercadorias, ideias.

Se o comércio e seu controle elevavam a importância da matemática prática, as ideias também eram marcantes.

De reconhecimento e leitura das formas geométricas, recuperam a força os cálculos geométricos em termos de área, divisão e mensuração. Com isso, voltam os estudos de “Contas” ou Matemática de números primos, números compostos, classificações de divisões, harmonia numérica, tudo direcionado a elementos práticos.

Temos outras iniciativas com Gerberto de Aurilac (950 a 1003 d.C), como os registros da catedral de Reims sobre clérigos que foram ao mundo muçulmano e voltaram com novos desafios árabes (um dos famosos é um sistema designado abacus).

Sua origem na Antiguidade nos faz interpretá-lo dentro das dinâmicas da aritmética medieval.

Você sabe usar um ábaco? A professora Ada Cabanas te ensina e mostra que lidar com aritmética pode ser mais complexo do que você imagina.

Neste contexto, precisamos lidar com o aparecimento das universidades medievais. Nesses ambientes passam a ser discutidos mais elementos e tradições técnicas, como na medicina e na mecânica, deixando de fora a retórica divinizada e trazendo um conteúdo que gerasse novas práticas. Sua difusão dá sentido à revalorização da matemática.

Muitos autores discutem que o aparecimento de traduções das obras aristotélicas seriam o sentido desta criação, mas isso é só parte da história. De fato, os mosteiros vinham desde o século X inovando em instrumentos e tecnologias, melhorando sua produção e aumentando a possibilidade de negociar produtos como a cerveja.

Assim, a busca de resoluções de problemas matemáticos práticos surgidos para melhorar a mecânica dos maquinários, dos usos cotidianos – seja do moinho ou das ferramentas –, fortaleceram os estudos matemáticos e geraram seu desenvolvimento.

Fibonacci e a matemática

Muitos consideram que a matemática do século XII e XIII passou por uma fase de Renascimento, tal como aprendiam na escola: retorno dos escritos gregos que haviam ficado perdidos, traduzidos do árabe.

Isso é falso, uma vez que não existe uma matemática presa ao ideal europeu, já que ela é feita pelo cruzamento de informações, pelo sentido matemático que a marca.

Assim, os italianos estão em contato com as casas de sabedoria – calma, você vai descobrir o que é – e os castelhanos da Espanha estão aprendendo e reinventando uma matemática que é persa, árabe, grega, ganesa. Esses pensamentos se disseminam de forma viva, são uma experiência de desenvolvimento e representação.

Não devemos centrar o entendimento de Fibonacci como algo especial, ou algo pessoal, mas sim fruto de um movimento como o estruturado por Pedro Abelardo (1079-1142), com a retomada da geometria e a discussão dos clássicos, bem como o astrolábio desenvolvido por Heloísa de Argenteuil (1090-1164).

A grande diferença colocada está em sua generalização para qualquer situação, processo estruturado para os modelos matemáticos vindouros.

Mas você poderia perguntar:

Respondemos: Não! Eles vinham aparecendo pouco a pouco, ora em traduções, ora em discípulos como Aderald (um personagem pouco conhecido). Fibonacci não representa a ação pessoal, mas sim uma escola, um grupo, movimentos e desenvolvimentos de uma nova circulação de documentos.

Ao longo dos séculos XIII e XIV a matemática tornou-se disciplina universitária – como arte e sempre vinculada no conjunto do Quadrivium –, mas junto com as traduções e as trocas com o Oriente, cada vez mais a modernidade matemática foi se fundamentando.

Mohammad e a fundação de uma nova religião

No século VII, a religião fundada por Mohammad inicia um processo de expansão política e religiosa de grande velocidade, que marca o mundo como um todo.

Comerciante na cidade de Meca, ele teve, na tradição islâmica, um conjunto de revelações que o fez profeta. A essência de sua fé era a concepção de que Deus era único e de poderes ilimitados, mas dava livre arbítrio aos homens para que se submetessem a ele, muslim. O foco estava em fortalecer uma comunidade que unisse os árabes. Depois de resistência políticas e uma fuga para a cidade de Medina, a religião, que não é separada da política, tem no profeta um líder político que consolida esta união.

Os quatro primeiros sucessores de Mohammad são conhecidos como califas perfeitos, ou rashdum, e conseguem a expansão religiosa (por conflito, articulação e conversão) no sentido da Síria e do Egito. Essas duas regiões, historicamente muito romanizadas, dão início a um forte diálogo entre as tradições romana, helenísticas e árabe-islâmica.

Enquanto isso, no Império Romano do Oriente, governantes como Justiniano estão fechando bibliotecas como a de Atenas e expulsando professores, a expansão islâmica protege os “povos dos livros” (judeus e cristãos), cobrando os devidos impostos por essa proteção.

Essa movimentação permite que o Islamismo do século VIII – conhecido como Omíada – incorpore elementos culturais romanos e inicie traduções de textos em grego e latim para o árabe, ampliando a sua circulação no mundo muçulmano.

Temos aqui o que é chamado de Mundo Árabe, uma vez que a religião estava associada à etnia que a expandia – árabes –, mantendo lideranças e centros de poder vinculados aos grupos árabes, mas autorizando e valorizando a presença de grupos diversos nos demais ambientes.

A expansão Omíada em termos territoriais é impressionante:

Neste contexto, surgem importantes movimentos que aproximam a compreensão da matemática nesta realidade.

A expansão política: romanos, persas e indianos

A expansão do califado Omíada gera a noção de que o Mundo Árabe é pequeno para o tamanho da compreensão de Alá. Fazemos aqui uma alegoria, importante para notar que a forte expansão para o mundo persa, fronteiras da índia e da China, África e Europa não significa isolamento ou apagamento de uma cultura para imposição de pequenos grupos árabes. Ao contrário, há uma grande troca.

Um dos fundamentos do domínio islâmico na chamada Era de Ouro é o estabelecimento de grandes rotas comerciais, autonomias entre os emirados e valorização da cultura árabe como elemento central. A junção destes três processos recebe o reforço do evento anual do Ramadã – momento especial da religião em que são estimulados o jejum diário, a reflexão e a abertura da casa aos irmãos.

Nesta época, é comum o processo migratório para Meca, relembrando a trajetória do profeta.

Tradições persas como o “acolhimento”, exemplificado com a aventura do marujo de Bagdad Simbadab, que sai pelo mundo e sempre encontra “acolhimento”, simbolizam a circulação de conhecimento e as trocas entre culturas.

Em cada nova cidade islâmica que surgia, havia uma mesquita como ponto de oração, uma casa de acolhimento, o centro administrativo e, dentre outros, as Casas de Sabedoria.

O sentido do conhecimento no mundo muçulmano é público, entendido como um presente de Alá. As pessoas têm o compromisso de levar o conhecimento a todos que assim o desejam. Esse valor nos ajuda a compreender a circulação de sábios e emires – líderes políticos que pagavam para que grandes sábios se instalassem em suas casas de cultura.

Estas casas se disseminam por todo o mundo islâmico. Ali crescem os estudos de medicina, química, física, retórica e... Matemática. Essas casas mantêm estruturas diversas que vão desde exercícios práticos, debates filosóficos, centros de estudos específicos, formação de jovens até bibliotecas.

Álgebra de Al-khwarizmi

No século IX, a expansão islâmica chega à índia e às antigas áreas romanas. As ideias destes mundos começam a circular e se encontrar.

É um erro crer que o mundo islâmico só repetiu Euclides ou Diofanto (matemático grego - 201 e 214 — falecido entre 284 e 298) sobre a Álgebra. Muito pelo contrário, as visões construídas por esses autores são diversas e avançam em debates que nem haviam sido pensados.

Com relação às obras do Al-khwarizmi, em seu livro Al-jabrwa’l muqabala percebe-se um importante avanço no entendimento das equações algébricas – para além do x e y naturalizado em nossa cultura –, com foco na reflexão sobre seu sentido.

Faz sentido falar que os antigos resolvem equação? Para que serve a matemática? Reconhecer um problema, equilibrá-lo e oferecer uma solução. Note que proposições como equilíbrio e reduções, que ainda hoje utilizamos, o famoso passa para cá ou para lá com sinal trocado, vem da lógica algébrica aqui estabelecida.

A possibilidade de eliminar termos para que a equação assuma sua forma mais simplificada – o “corta corta” que ainda ouvimos atualmente – pode ser pensado mediante o entendimento algébrico de Al-Khwarizmi.

Temos então um modelo de algoritmo da matemática atual? Não. Não existe generalização, cada exercício é um exercício e o domínio de sua resolução é próprio e singular.

Veja:

Mas então por que dentre as obras deste período, o Cálculo de Al-jabar e Al-muquebala (restauração e balanceamento), de Al-Khwarizmi, foi tão relevante?

Pela estrutura de pensamento matemático, sua organicidade e capacidade de gerar interpretações e respostas até então inatingíveis. As funções passam necessariamente sobre o uso geométrico para gerar seu entendimento. Vamos exemplificar com sua classificação para as resoluções das “equações do segundo grau”:

As obras desta época eram totalmente escritas em linguagem retórica, sem símbolos. Isso era uma peculiaridade deste período, algo recorrente dentro das casas de cultura e sentido do conhecimento circulante. Com este modelo de estudo e retórica, a informação circula: na voz, de casa em casa, constituindo grupos de discípulos que possam determinar novos caminhos.

Thabit b.Qurra, por exemplo, traduz os trabalhos de gregos e do hindu para estabelecer métodos, desenvolvendo formas de encontrar os números amigos. Seguindo os passos de Al Khwarizmi, está Abu-Kamil, que adota os numerais indo-arábicos e trata algebricamente problemas de cunho geométrico.

A escola algébrica, ou a escola de matemática pura, era menos numerosa entre as casas de sabedoria em relação aos astrônomos, por exemplo. Na era de ouro, foram melhorados os sistemas de navegação; caminhos diversos da matemática passam a ser adotados e discutidos de forma viva.

E aí você pergunta novamente: “Mas professor, não é tudo oriundo dos gregos?”

De fato, grupos de estudiosos matemáticos defendem que a variação árabe só não cresceu ainda mais por conta do excesso de leitura dos gregos: a matemática (e toda a ciência) grega sempre se impôs como sendo a base do conhecimento ocidental.

Mas entenda isso como uma provocação, a fim de ajudar a romper algumas tradições. O debate de quem é o pai da Álgebra, se Diofanto ou Khwarizmi, é algo menor; afinal, pensamento não é uma disputa de patentes. Todos seguiam os Elementos de Euclides e o Trabalho do Diofanto; este, posterior, é como um livro de olimpíadas de matemática secreto, redescoberto no século XVII.

A escola algébrica árabe

Vamos falar sobre problemas com cubos?

São problemas espaciais, logo suas dinâmicas exigiam questões com volume. A homogeneidade das grandezas nos apresentava as equações:

Existiam problemas envolvendo cubos e problemas envolvendo quadrados; por exemplo, a duplicação do cubo.

Nas escolas e casas de sabedoria não existia a separação entre teoria e prática. Esses fatores se misturam, o que tem bastante sentido, uma vez que os problemas do cotidiano podem ser teorizados.

E aí vem o sentido do conhecimento, pautado na ideia de que todo conhecimento emana de Alá. Estudar matemática é se aproximar de entender e discutir o próprio Deus. O conhecimento não se isola; não à toa, Omar Khayyam (matemático e astrônomo persa - 1030-1123) é mais conhecido no Ocidente pelas características de sua poesia do que pelo seu conhecimento místico.

Qual o papel da obra sobre a demonstração da álgebra e da muqabala, de Omar Khayyam (XI e XII), para o desenvolvimento das resoluções de equação do terceiro grau?

A obra tem um cunho geométrico e mostra que certas classes de equações cúbicas podem ser transformadas e resolvidas por intersecções de cônicas.

Acompanhe os exemplos que se seguem.

Considere:

Fazendo:

Transformamos a equação original no sistema composto por uma hipérbole e uma parábola:

Ele criou uma classificação para soluções geométricas, sem o intuito de dar efetivamente o resultado da questão, mas construir leituras e se aproximar de modelos de observação. Essa essência de pensamento algébrico é fantástica, mas mantém o foco histórico de pensar e levar o pensamento como fundamento e busca.

Neste vídeo, demonstraremos a equação quadrática e cúbica, explicando sobre as funções e a maneira como são abordadas.

O crescimento das Casas de Sabedoria

A matemática do mundo muçulmano apresenta condições bastante complexas. De um lado, temos o argumento de que, com as Cruzadas, o mundo muçulmano tinha entrado em crise. A lógica é que a Europa assumiria de vez o seu protagonismo. Essa leitura é, no entanto, parcial e frágil.

Acontece que o movimento de Cruzadas não determina uma mudança total do mundo muçulmano; de fato, somente em uma parte do mediterrâneo oriental. Já a entrada de cristãos nas trocas de pensamento muçulmano gera um incremento significativo em sua intelectualidade.

As rotas de comércio eram extensas e o desenvolvimento matemático relativo a questões bancárias, financeiras e juros ganha notoriedade. Mas também os valores matemáticos, os novos problemas, e a adoção de conhecimentos que circulam em um novo mundo são fundamentais.

Se quisermos perceber um mundo muçulmano em transformação, precisamos notar para além da relação com os europeus. A ideia de uma formação única dá lugar à ascensão de povos e grupos com tradições diversas, e representa novas interpretações e valores matemáticos.

Note: turcos se convertem ao Islamismo; na África, temos a circulação de homens e ideias diversas, que passam a ser pensadas e documentadas. Na Península Ibérica, as cidades de Córdoba e Al Andaluz reúnem intelectuais que discutem de medicina à matemática, trocando ideias com grupos europeus, judeus e cristãos.

No Oriente, o crescimento da expansão mongol, ainda que também se convertam ao Islamismo, aponta para novas trocas políticas, culturais e sociais; agora com chineses e parte da cultura do chamado Extremo Oriente.

Temos dois relatos que nos ajudam a pensar sobre o que significa essa circulação de ideias de maneira estrutural fundamental:

Problemas práticos: de polígonos a esferas

O ambiente intelectual, a partir do século XII, pelos fatores apontados – apesar de termos demonstrado um tom crítico –, parte do direcionamento central de um mundo islâmico para um ambiente complexo, de muitos povos e sociedades diversas.

A lógica de integração entre mais povos vai gerar também movimentos de negação a tradições intelectuais.

A perda de espaços intelectuais e a presença de grupos que passam a ver o desenvolvimento intelectual como uma ameaça não eliminaram, no entanto, importantes avanços na cultura e educação muçulmanas.

Um bom exemplo são os desenvolvimentos de Al-Birinicon que, nos séculos XI e XII, tratou da construção de polígonos regulares e de como seu cálculo, de forma prática, pode ser marcado pelo tratamento algébrico de seus antecessores.

Ibn Al-Haytan introduz aspectos da Física Ótica para compreender a refração da luz, adotando uma equação de quarto grau pela intercessão de uma circunferência e uma parábola.

O já citado Omar Khayyman vai mergulhar intensamente nos movimentos dos corpos celestes e na sua equação. Consegue determinar com alguma precisão o ano bissexto, depois incorporado ao calendário Gregoriano. Com o registro de que Khayyman acerta o cálculo, enquanto o bispo Gregório a conta, ainda hoje controversa, e o cálculo reconhecidamente equivocado.

Note que o desenvolvimento dos estudos sobre o círculo e séries está no mesmo século em que Gerardo de Cremona (escritor, 1114-1187), na sua escola de tradução ibérica, traduz mais de 87 tratados.

Produções como as de Jabir Ibn Aflah (1100-1150), astrônomo e matemático que desenvolveu uma trigonometria do círculo corrigindo a tradição herdada do grego Ptolomeu, não dialogam com o primeiro tratado em latim de trigonometria, escrito séculos depois, por Georg Peurbach (1423-1461).